Expression générale pour  la cycloïde et les cycloïdes à centre (épi- et hypocycloïdes).

On peut les définir de façon générale comme les trajectoires des mouvements qui sont composés de deux mouvements uniformes, circulaires ou rectilignes, et de mêmes vitesses ; ou encore par leurs équations intrinsèques :
 

Équation intrinsèque 1 :  ; Équation intrinsèque 2 :  ; w  = 1 : cycloïde (A = 4 fois le rayon du cercle roulant) 0 < w < 1 : épicycloïde ( ,   où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant) w > 1 : hypocycloïde ( ,   où a est le rayon du cercle de base, b celui du cercle roulant).

Les épi- et hypocycloïdes ont pour équation différentielle polaire :
 

; k < 0 : hypocycloïde, k > 0 : épicycloïde.

La développée, et même toute développoïde d'une courbe cycloïdale est une courbe cycloïdale.

Par analogie, les courbes d'équation intrinsèque  sont appelées courbes pseudo-cycloïdales.
Pour une généralisation à l'espace, voir à cycloïde sphérique.
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2016