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CYCLIQUE
Cyclic
curve, Zyklische Kurve
Du grec Kuklos : cercle, roue. |
Équation polaire:
où
est la podaire de la déférente, O le centre d'inversion
et p la puissance.
Condition de réalité des points de la cyclique : . |
La (courbe) cyclique associée à une
courbe
(la déférente), un centre O et une puissance
p est l'enveloppe des cercles (C) dont le centre décrit
et tels que O ait une puissance constante
p par rapport à
ces cercles.
L'on désigne alors par cercle directeur
(C0) (ou cercle
d'inversion) le cercle de centre O et de rayon
; la condition de puissance constante signifie :
- dans le cas où p est > 0, que (C)
reste orthogonal au cercle directeur.
- dans le cas où p est nul, que (C)
passe par O.
- dans le cas où p est < 0, que
(C) reste "pseudo-orthogonal" au cercle directeur, autrement dit
qu'il le coupe en deux points diamétralement opposés.
Dans le cas où p > 0, le cercle (C) n'est réel que pour les points de la déférente situés en dehors du cercle directeur ; pour les points intérieurs, la portion de cyclique obtenue n'a que des points imaginaires.
Considérons le projeté N de O
sur
la tangente (T0)
à
en (M0) (N
décrit donc la podaire de
par rapport à O).
Les deux points caractéristiques M et M'
du cercle (C) centré en (M0)
sont les points d'intersection de (C) avec (ON). Ils sont
alors définis par
Lorsque p est différent de 0, la cyclique est donc anallagmatique de centre d'inversion O et de puissance p, et réciproquement toute courbe anallagmatique possède autant de générations cycliques qu'elle possède de centres d'inversion.
Lorsque p est nul, il n'y a plus qu'un point caractéristique M tel que N est le milieu de [OM] et la cyclique n'est autre que l'orthotomique de par rapport à O.
Les cycliques de déférente une parabole sont les cubiques circulaires (rationnelles si p = 0) et les cycliques de déférente une conique à centre sont les quartiques bicirculaires (rationnelles si p = 0).
L'analogue de la notion de cyclique pour les surfaces
est celle de cyclide.
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© Robert FERRÉOL 2004