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QUARTIQUE BICIRCULAIRE
Bicircular
quartic, Doppelkreisquartik
Équation cartésienne (réduite) : . |
Les quartiques bicirculaires sont les cycliques dont la déférente est une conique à centre, autrement dit les enveloppes de cercles dont le centre décrit une conique à centre, et tels qu'un point fixe ait une puissance constante par rapport à ces cercles.PB: C ou D = 0
Si la déférente est (donc centrée en O), le point fixe : (a, b), la puissance : p et , la quartique bicirculaire a pour équation l'équation ci dessus, avec
Exemples :
(Rappelons que le cercle d'inversion est le cercle de
centre W et de rayon
).
Type | Condition portant sur A, B, C, D, E permettant d'obtenir la généralité de l'exemple. | Condition portant sur L, M, N, a, b permettant d'obtenir la généralité de l'exemple | CNS portant sur le cercle d'inversion et la déférente, permettant d'obtenir la généralité de l'exemple. |
quartique bicirculaire rationnelle | le cercle d'inversion est réduit à un point ou tangent à la déférente | ||
cartésienne | A = B, D = 0 | L = M, b = 0, | la déférente est un cercle |
ovale de Descartes complet | L = M = R2, b = 0 | la déférente est un cercle et p < 0, ou p ³ 0 et les cercles déférent et d'inversion sont non sécants. | |
limaçon de Pascal | L = M, b = 0, p = 0 | la déférente est un cercle et le cercle d'inversion se réduit à un point ou est tangent au cercle directeur | |
cardioïde | ,b = 0 | la déférente est un cercle et le cercle d'inversion se réduit à un point de ce cercle | |
spirique plane | AB et D = 0 | L ¹ M et b = 0 | la déférente n'est pas un cercle et le cercle d'inversion est centré sur un axe de la déférente |
spirique de Persée | AB et C = D = 0 | L ¹ M et a = b = 0 | la déférente n'est pas un cercle et le cercle d'inversion est centré au centre de la déférente |
ovale de Cassini | B = –A et C =D =0 | L +M +N =0 et a = b = 0 | Le cercle d'inversion est le cercle de Monge de la déférente. |
courbe de Booth | C = D = E = 0 | a = b = N = 0 | Le cercle d'inversion est réduit au centre de la déférente |
lemniscate de Bernoulli | B = –A et C =D = E = 0 | M = – L
et a = b = N = 0 |
La déférente est une hyperbole équilatère et le cercle d'inversion est réduit au centre de celle-ci |
Les quartiques bicirculaires sont les courbes inverses
des ovales de Descartes ; plus
précisément, si l’on pose ,
la quartique ci-dessus est l’image de l’ovale de Descartes :
par une inversion de pôle ,
transformant en
et en .
Elles contiennent donc les ovales de Descartes comme
cas particuliers.
La courbe est non vide ssi les trois sommes
ne sont pas simultanément > 0 ni simultanément < 0 ; cette
condition est équivalente à ce que parmi les trois coefficients
a’,
b’,
g’,
on puisse choisir deux coefficients les plus grands en valeur absolue qui
sont de signe contraire (au sens large).
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© Robert FERRÉOL 2001