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DÉVELOPPOÏDE INVERSE D'UNE COURBE PLANE
Inverse
evolutoid of a plane curve, umgekehrte Evolutoide einer Kurve
Notion étudiée en 1873 par L'abbé
Aoust (p. 119), et en 2010 par Apostol
et Mamikon sous le nom de tanvolute.
Autres noms : développante oblique, développante généralisée. |
Si M0 est le point
courant de ,
le point courant M d'une développoïde inverse faisant
un angle
avec les tangentes est le lieu des points
où
est défini par l'équation différentielle : ,
ou (voir
les notations).
Cette équation diférentielle linéaire du premier ordre s'intègre en où . |
Les développoïdes inverses sous un
angle
d'une courbe plane
sont les courbes dont
est la développoïde d'angle .
Ce sont donc les courbes traversant
sous un angle:
les tangentes à la courbe .
Pour
, on retrouve les développantes de .
EXEMPLE : DÉVELOPPOÏDE INVERSE DE CERCLE
Pour un cercle de rayon a :
paramétrisation cartésienne : avec . |
Animation pour diverses valeurs de k |
La branche pour est asymptote au cercle de rayon (lequel fait partie de la développante oblique), et l'autre branche "se rapproche" d'une spirale logarithmique (l'une des spirales logarithmiques traversant avec un angle les droites issues de O). |
Exemple avec un angle de 45° |
Pour proche de 90°, la branche pour t > 0 commence avec des spires peu ou prou équidistantes, comme pour une spirale d'Archimède, puis les spires s'écartent, comme pour une spirale logarithmique. |
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Dans une figure de poursuites mutuelles avec des points de départ aux sommets d'un polygone régulier, les courbes sont des développantes obliques les unes des autres. |
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On trouvera dans l'article ou le livre d'Apostol, une étude des développantes obliques des courbes cycloïdales. Ci-contre, exemple de la cardioïde. |
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© Robert FERRÉOL 2020