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QUARTIQUE DE KLEIN
Klein
quartic, kleinsche Quartik
Courbe étudiée par Klein en 1879 (Uber
die Transformationen siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen, Math.
Ann. 14 (1879), 428-471. Œuvres, Tome III, p. 90-136).
![]() Webographie : en.wikipedia.org/wiki/Klein_quartic mathworld.wolfram.com/KleinQuartic.html math.univ-lyon1.fr/~germoni/memoires/stage_Le.pdf |
1) La quartique affine de Klein :
Équation cartésienne : de sorte que pqr = 0 est la réunion de 3 droites formant un triangle équilatéral centré en O. Quartique de genre 3. Équation polaire : REM 1 : la quartique passe par les trois points d'intersection du cercle Comparer avec la définition de la surface de Kummer. |
![]() Cas |
![]() La même courbe, représentée avec sa hessienne,
coupant la courbe en ses points d'inflexion. Lorsque |
La quartique de Klein (affine) est la courbe ci-dessus
dans le cas particulier où Elle a la particularité que les tangentes aux 6 points d'inflexion (en vert ci-contre) passent par un autre point d'inflexion et forment deux triangles équilatéraux. Comparer avec la quartique de Loriga (qui a la même propriété, mais qui est différente). |
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2) La quartique projective de Klein (projectivement équivalente
à la précédente) :
Équation homogène : |
Vues du cône: L'équation cylindrique de ce cône dans un repère où Oz est l'axe de rotation est : |
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Cône de Klein, par Alain Esculier
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© Robert FERRÉOL
2014