Premier dôme géodésique construit par Walter Bauersfeld en 1922 ; polyèdres duaux décrits en 1937 par le mathématicien Michael Goldberg, structures étudiées et popularisées par l'architecte Richard Buckminster Fuller dans les années 1940. Références pour cette page :  Ian Stewart, construisez votre Virus, pour La Science N° 132, Octobre 1988 Article Wikipédia Logiciel de construction des dômes géodésiques réalisé par Georges Perrotte  (décompacter le fichier et placer tous les éléments dans un même répertoire). Page du site d'Alain Esculier. Programme maple donnant les images de cette page réalisé par Gérard Lavau.

On désigne par dômes géodésiques les polyèdres.inscriptibles à faces triangulaires et sommets de degrés 5 ou 6, ainsi que les polyèdres duaux de ces derniers, autrement dit les polyèdres circonscriptibles à sommets de degré 3 et à faces hexagonales ou pentagonales.

On montre à l'aide de la relation d'Euler que les dômes géodésiques à faces triangulaires ont exactement 12 sommets de degré 5 (et que donc leurs duaux ont exactement 12 faces pentagonales).

Voici une méthode due à M. Goldberg, D. Caspar, et A. Klug (1962) donnant une famille infinie de dômes géodésiques ayant le plus de régularité possible, en partant d'un icosaèdre régulier (qui fournit les 12 sommets de degré 5) :

Étant donné deux entiers naturels a et b on partage chaque arête de l'icosaèdre en a + b  segments égaux. Après avoir orienté chacun des triangles de l'icosaèdre dans le même sens, on joint chaque sommet de chaque triangle au point du côté opposé partageant ce côté en a segments à sa droite, et b segments à sa gauche (ci-contre, a = 3 et b = 2). Puis on trace dans chaque face tous les segments parallèles à ce segment passant par les autres points marqués sur les côtés. On projette les points d'intersections de ces segments sur la sphère circonscrite : ce sont les sommets du dôme géodésique ; chaque sommet est relié par une arête à ses voisins.  Il est à noter que contrairement aux apparences, les triangles du dôme géodésique ne sont pas équilatéraux (du reste, il n'existe qu'un nombre fini de polyèdres convexes à faces triangulaires équilatérales).

Construction du dôme de type (3,2)

On montre alors que le rapport du nombre de faces du dôme au nombre de faces de l'icosaèdre est égal à D = a² + ab + b², nombre appelé "densité" du dôme.

Voici les premiers exemples, avec a  b, car les dômes de type (a,b) et de type (b, a) sont images miroir l'un de l'autre :
 

type : (a, b) =	(1, 0)	(1, 1)	(2, 0)	(2, 1)
Nom	icosaèdre	pentaki-dodécaèdre
D = a² + ab + b²	1	3	4	7
sommets de degré 6 : 10(D – 1)	0	20	30	60
faces : 20D	20	60	80	140
virus		mosaïque du chou-fleur	bactériophage R	papillome
constructions		radars	Magnifique sculpture virtuelle dûe à George Hart
dual	Dodécaèdre	ballon de foot	triacontaèdre rhombique tronqué

 

type  (a, b)	(3, 0)	(2, 2)	(3, 1)	(4, 0)
vue
D = a² + ab + b²	9	12	13	16
sommets de degré 6 : 10(D – 1)	80	110	120	150
faces : 20D	180	240	260	320
virus	réovirus			herpès, varicelle
constructions		Dôme de télécommunications dans l'Antarctique		Réalisation de Robert March et ses élèves
dual nombre de faces :  pentagones = 12 hexagones = 10(D – 1) hexagones réguliers = 20

 

Ex pavillon états-unien à l'expo 67 de Montréal, abritant actuellement le musée de l'environnement. Dôme géodésique de type (16, 0).

La géode, Cité des Sciences à Paris. Dôme géodésique de type (20, 0)

 
 

Haystack Observatory  : ne rentre pas dans le cadre de cette page ; il y a des sommets de degrés 5, 6, 7 et 8. Voir aussi le dôme d'Osaka.

Champignon clathre rouge.

Radiolaire aulonia hexagona.

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

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