Pavage polygonal

PAVAGE POLYGONAL
Polygonal tiling or tessellation, Parkettierung mit Vielecken

Sites :
www.mathematische-basteleien.de/parkett2.htm
tilings.math.uni-bielefeld.de
Une belle page d'Alain esculier sur les pavages par des losanges 120°/60°

Un pavage polygonal du plan est un ensemble de polygones pleins (les pavés ou tuiles) dont la réunion est égale au plan tout entier et qui ne s'intersectent que sur leur frontière.
Les pavés peuvent ne pas être convexes, par exemple pour , mais un pavage à pavés convexes ayant chacun un nombre fini de voisins est polygonal.
Un pavage polygonal est dit bord à bord (en anglais : edge to edge), (ou jointif, ou encore strict) si les pavés qui ont une intersection non vide s'intersectent suivant exactement une arête ou un sommet (contrairement par exemple à un parquet à lames décalées, ou à ce pavage de carrés vu à Grenade) : on peut considérer que c'est l'équivalent plan d'un polyèdre.
On peut définir alors un pavage polygonal dual en choisissant un sommet à l'intérieur de chaque pavé, et en joignant par une arête deux sommets appartenant à deux pavés voisins ; attention, ce faisant, il se peut que les arêtes se croisent, et même si elles ne se croisent pas, deux choix de sommets différents peuvent conduire à des duaux topologiquement différents.

Lorsque les pavés sont convexes et inscriptibles, on peut choisir comme sommet du dual le centre du cercle circonscrit, de sorte que les arêtes du dual sont orthogonales à celles du pavage de départ et les coupent en leur milieu.

PAVAGE MONOÉDRIQUE (ou pavage à mono-tuile)
Pavages dont tous les pavés sont isométriques. On montre [Convex polygons that cannot tile the plane. American Mathematical Monthly, Vol. 85 (1978), 785-792] que, dans le cas convexe, le polygone de base a six côtés au plus. Tous les triangles et quadrilatères convexes pavent le plan (ci-contre, une preuve sans mots de ce dernier fait). Les hexagones convexes pavant le plan sont ceux qui ont un centre de symétrie, autrement dit les 3-zonogones. Pour les pentagones convexes, la liste complète a été établie (sous-réserve de vérification) en 2017 ; voir aussi cet article de J.P. Delahaye.
Dans le cas non convexe, il a été trouvé des pavages monoédriques non périodiques (voir à problème einstein).

PAVAGE ISOÉDRIQUE
Pavage "pavés-transitif", en ce sens que pour tout couple de pavés, il existe une isométrie conservant globalement le pavage, et envoyant un pavé sur l'autre, donc forcément monoédrique.
Ci-contre, un exemple de pavage monoédrique qui n'est pas isoédrique.

PAVAGE RÉGULIER
Un pavage polygonal est dit régulier s'il est bord à bord et que tous ses pavés sont des polygones réguliers de même type (on remarquera que contrairement aux polyèdres, il n'est pas besoin de préciser que les sommets sont de même degré).
A similitudes près, il en existe 3, appelés, par analogie avec les polyèdres, "pavages de Platon", et répertoriés sur la page des polyèdres réguliers.
Un drapeau étant une suite où p est un pavé du pavage polygonal à arêtes jointives, a une arête de ce pavé, et s une extrémité de cette arête, le pavage est régulier ssi le groupe des isométries laissant le pavage invariant est transitif sur les drapeaux, c'est-à-dire qu'il existe toujours une isométrie envoyant un drapeau donné sur un drapeau donné.

PAVAGE SEMI-RÉGULIER
Un pavage polygonal est dit semi-régulier s'il est bord à bord, que tous ses pavés sont des polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques (en ce sens que les pavés arrivant à ces sommets sont 2 à 2 du même type, et dans le même ordre).
A similitudes près, et excepté les pavages de Platon, il en existe 8, appelés par analogie avec les polyèdres, "pavages d'Archimède", et répertoriés sur la page des polyèdres d'Archimède.
Un pavage polygonal bord à bord est semi-régulier ssi le groupe des isométries le laissant invariant est transitif sur les sommets.

PAVAGE SEMI-RÉGULIER DE DEUXIÈME ESPÈCE
Pavage monoédrique bord à bord tel que tous les angles des polygones arrivant à un sommet sont égaux. Ce sont les duaux des pavages semi-réguliers.
A similitudes près, et excepté les pavages de Platon, il en existe 8, appelés "pavages de Laves", et répertoriés sur la page des polyèdres de Catalan.
Un pavage est semi-régulier de deuxième espèce ss'il est polygonal,bord à bord, et isoédrique.

PAVAGE KALÉIDOSCOPIQUE
Pavage monoédrique tel que les pavés voisins d'un pavé donné sont obtenus par symétrie par rapport à l'arête commune. Ce sont 6 des 8 pavages précédents (enlever le pavage du Caire et celui à fleur).

PAVAGE POLYGONAL ÉTOILÉ
Cette notion est l'analogue plan des polyèdres étoilés ; il ne s'agit plus de pavages formés de parties compactes du plan, mais formés de polygones, étoilés ou non, au sens d'ensembles d'arêtes, vérifiant :
    - deux polygones du pavage ont soit exactement une arête en commun (ils sont jointifs), soit aucune
    - (condition de connexité) : étant donné deux polygones, il existe une succession de polygones jointifs joignant l'un à l'autre
    - étant donné un sommet S d'un des polygones du pavage, les segments [X,Y], où (X,S,Y) est une succession de sommets de l'un des polygones du pavage, forment l'ensemble des côtés d'un polygone (éventuellement croisé) (nommé l'image-sommet de S)
    - tout point du plan est dans l'enveloppe convexe des sommets de l'un des polygones

Par exemple, dans le pavage ci-contre arrivent en chaque sommet une étoile octogonale, un carré, une deuxième étoile, et deux rectangles.
Au dessus, la figure-sommet d'un sommet S a été indiquée en noir.
Il n'existe pas de pavage étoilé régulier qui seraient les analogues de polyèdres de Képler-Poinsot, mais 14 pavages étoilés semi-réguliers (voir [Grunbaum Sheppard], p.632).

Exemples : pavage du Caire, pavage de Diane, pavage de Dürer.

Voir aussi les pavages polyédriques.

Un pavage polygonal bord à bord à sommets de degré 3 (maison normande)
Beau pavage monoédrique que l'on retrouvera aussi sur cette page.

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

PAVAGE MONOÉDRIQUE (ou pavage à mono-tuile) Pavages dont tous les pavés sont isométriques. On montre [Convex polygons that cannot tile the plane. American Mathematical Monthly, Vol. 85 (1978), 785-792] que, dans le cas convexe, le polygone de base a six côtés au plus. Tous les triangles et quadrilatères convexes pavent le plan (ci-contre, une preuve sans mots de ce dernier fait). Les hexagones convexes pavant le plan sont ceux qui ont un centre de symétrie, autrement dit les 3-zonogones. Pour les pentagones convexes, la liste complète a été établie (sous-réserve de vérification) en 2017 ; voir aussi cet article de J.P. Delahaye. Dans le cas non convexe, il a été trouvé des pavages monoédriques non périodiques (voir à problème einstein).
PAVAGE ISOÉDRIQUE Pavage "pavés-transitif", en ce sens que pour tout couple de pavés, il existe une isométrie conservant globalement le pavage, et envoyant un pavé sur l'autre, donc forcément monoédrique. Ci-contre, un exemple de pavage monoédrique qui n'est pas isoédrique.
PAVAGE RÉGULIER Un pavage polygonal est dit régulier s'il est bord à bord et que tous ses pavés sont des polygones réguliers de même type (on remarquera que contrairement aux polyèdres, il n'est pas besoin de préciser que les sommets sont de même degré). A similitudes près, il en existe 3, appelés, par analogie avec les polyèdres, "pavages de Platon", et répertoriés sur la page des polyèdres réguliers. Un drapeau étant une suite où p est un pavé du pavage polygonal à arêtes jointives, a une arête de ce pavé, et s une extrémité de cette arête, le pavage est régulier ssi le groupe des isométries laissant le pavage invariant est transitif sur les drapeaux, c'est-à-dire qu'il existe toujours une isométrie envoyant un drapeau donné sur un drapeau donné.
PAVAGE SEMI-RÉGULIER Un pavage polygonal est dit semi-régulier s'il est bord à bord, que tous ses pavés sont des polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques (en ce sens que les pavés arrivant à ces sommets sont 2 à 2 du même type, et dans le même ordre). A similitudes près, et excepté les pavages de Platon, il en existe 8, appelés par analogie avec les polyèdres, "pavages d'Archimède", et répertoriés sur la page des polyèdres d'Archimède. Un pavage polygonal bord à bord est semi-régulier ssi le groupe des isométries le laissant invariant est transitif sur les sommets.
PAVAGE SEMI-RÉGULIER DE DEUXIÈME ESPÈCE Pavage monoédrique bord à bord tel que tous les angles des polygones arrivant à un sommet sont égaux. Ce sont les duaux des pavages semi-réguliers. A similitudes près, et excepté les pavages de Platon, il en existe 8, appelés "pavages de Laves", et répertoriés sur la page des polyèdres de Catalan. Un pavage est semi-régulier de deuxième espèce ss'il est polygonal,bord à bord, et isoédrique.
PAVAGE KALÉIDOSCOPIQUE Pavage monoédrique tel que les pavés voisins d'un pavé donné sont obtenus par symétrie par rapport à l'arête commune. Ce sont 6 des 8 pavages précédents (enlever le pavage du Caire et celui à fleur).
PAVAGE POLYGONAL ÉTOILÉ Cette notion est l'analogue plan des polyèdres étoilés ; il ne s'agit plus de pavages formés de parties compactes du plan, mais formés de polygones, étoilés ou non, au sens d'ensembles d'arêtes, vérifiant : - deux polygones du pavage ont soit exactement une arête en commun (ils sont jointifs), soit aucune - (condition de connexité) : étant donné deux polygones, il existe une succession de polygones jointifs joignant l'un à l'autre - étant donné un sommet S d'un des polygones du pavage, les segments [X,Y], où (X,S,Y) est une succession de sommets de l'un des polygones du pavage, forment l'ensemble des côtés d'un polygone (éventuellement croisé) (nommé l'image-sommet de S) - tout point du plan est dans l'enveloppe convexe des sommets de l'un des polygones
Par exemple, dans le pavage ci-contre arrivent en chaque sommet une étoile octogonale, un carré, une deuxième étoile, et deux rectangles. Au dessus, la figure-sommet d'un sommet S a été indiquée en noir. Il n'existe pas de pavage étoilé régulier qui seraient les analogues de polyèdres de Képler-Poinsot, mais 14 pavages étoilés semi-réguliers (voir [Grunbaum Sheppard], p.632).