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TORE POLYÉDRIQUE PLAT
Flat Torus, Flacher Torus
Modèle transmis par Guy Valette. |
Si |
Un polyèdre plat est un polyèdre non convexe tel que la somme des angles des faces aboutissant à chaque sommet est égale à 360° ; l'appellation plat vient de ce que si un tel polyèdre était convexe, les faces aboutissant à chaque sommet devraient être coplanaires (et ce ne serait donc pas un polyèdre au sens classique).
On remarquera que dans le polyèdre ci-dessus, dont les faces ne se croisent pas seulement à partir de n = 7, les cinq angles aboutissant à chaque sommet ont bien une somme de 360°, car il y en a 3 qui sont les trois angles d'un même triangle, et les deux autres sont droits.
Si l'on désigne par courbure d'un sommet le nombre 360° – la somme des angles des faces y aboutissant, on montre que la somme des courbures des sommets est égale à 360° fois la caractéristique d'Euler-Poincaré de la surface du polyèdre.
Un polyèdre plat doit donc avoir une caractéristique d'Euler-Poincaré nulle, et ne peut donc qu'être toroïdal.
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© Robert FERRÉOL 2008