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SURFACE DE BOY
Boy surface,
boysche Fläche
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Surface étudiée par Werner Boy en 1902,
Bernard
Morin en 1978, Jean-Pierre Petit et Jérome Souriau en 1981.
Werner Boy (1879 - 1914) : élève de Hilbert (voir ici ce qu'en raconte Jean-Pierre Petit). Voir aussi : fr.wikipedia.org/wiki/Surface_de_Boy et l'article de Jean-Pierre Petit : www.cs.berkeley.edu/~sequin/CS294/IMGS/boysurface.htm |
Paramétrisation cartésienne d'Apéry
(1986), utilisée pour les images ci-dessus :
Paramétrisation cartésienne de Bryant-Kusner
(1987) :
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La surface de Boy a été découverte
suite à la recherche d'un modèle dans
du plan projectif qui
ne possède pas d'autre singularité que des auto-intersections
le long de quelles les différentes nappes ont un plan tangent bien
défini (la surface romaine et
le bonnet croisé,qui
étaient connus, possèdent des points
cuspidaux).
Boy a décrit sa surface de façon conceptuelle,
et ce n'est qu'en 1981 que J.P.
Petit et J. Souriau en ont trouvé une paramétrisation.
Autant le bonnet croisé est obtenu en tordant le bord d'un disque en une courbe à un croisement jusqu'à faire coïncider les deux parties (de sorte que les points opposé du bord du disque coïncident),... | ![]() |
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...autant la surface de Boy est obtenue en tordant un disque en une courbe à trois croisements, jusqu'à faire coïncider 2 à 2 les 6 parties (d'où la symétrie d'ordre 3 de cette surface) | ![]() |
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Ci-contre, diverses animations expliquant la construction (paramétrisation de Bryant-Kusner): | ![]() |
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La surface de Boy possède 3 orifices conduisant
à des tunnels se rejoignant dans la partie centrale.
Suivre un chemin pour comprendre que la surface n'a qu'une face. |
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Ci-contre, animation utilisant la paramétrisation
de Morin-Apéry, montrant la déformation de la surface
romaine en la surface de Boy ; les 3 points cuspidaux de la surface
romaine disparaissent à partir de la valeur |
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La courbe d'auto-intersection de la surface de Boy est
un trifolium tordu
; les 3 tangentes au point triple sont 2 à 2 orthogonales (et donc
aussi les trois plans tangents à la surface en ce point triple).
Voir aussi à quadrifolium. |
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La paramétrisation ci-dessus de Morin-Apéry
en fait une surface algébrique de degré 6, et on a montré
qu'on ne pouvait pas abaisser ce degré sans faire apparaître
de point cuspidal (la surface romaine et le bonnet croisé sont des
quartiques).
Voici un modèle de la surface de Boy sous forme
de réunion de rectangles joints.
La courbe d'auto intersection est formée de 3 carrés situés dans 3 plans 2 à deux perpendiculaires. Certains rectangles contigus étant coplanaires, ce modèle devrait être déformé pour devenir réellement un polyèdre, mais il existe un vrai polyèdre (généralisé) qui est un modèle de la surface de Boy : le polyèdre de Brehm. |
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Si l'on peint la surface de Boy, la pellicule de peinture
(qui est d'un seul tenant puisque cette surface est unilatère) obtenue
est une immersion de la sphère (car le revêtement
à deux feuillets du plan projectif est la sphère); c'est
la raison pour laquelle la surface de Boy a été utilisée
comme étape centrale du retournement de la sphère : voir
par exemple, ce
texte de Pour la Science.
Voir aussi la surface
de Morin.
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© Robert FERRÉOL 2013