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BONNET CROISÉ
Cross-cap,
Kreuzhaube
Surface étudiée par Steiner ???
Autre nom : mitre. |
Paramétrisation cartésienne n°1 : Paramétrisation cartésienne n°2 : Paramétrisation cartésienne n°3 : Paramétrisation cartésienne n°4 : |
Le bonnet croisé est l'image de la sphère
quotientée par la relation d'antipodie (autrement dit, le plan
projectif réel), par l'application : .
Le bonnet croisé est l'une des plus simples immersions
du plan projectif réel
dans Il ne possède qu'un segment d'auto-intersection terminé par deux points cuspidaux (ici O et (0, 0, a)) (comparer avec la surface romaine et la surface de Boy, qui sont deux autres immersions du plan projectif). |
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La figure ci-contre illustre le fait que le bonnet croisé est un modèle du plan projectif : |
![]() On part d'une sphère trouée (homéomorphe au disque), et on plaque bord à bord a avec a, et b avec b, pour former le segment d'auto-intersection |
Autre construction, à partir d'un disque au bord tordu en un huit, ayant déjà une auto-intersection. |
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Le bonnet croisé possède aussi d'intéressantes propriétés géométriques. Il est en particulier de 3 façons différentes réunion d'une famille d'ellipses :
Première famille (cf. paramétrisation
n°2) : les sections par les plans contenant
Oz
d'angle
polaire
q sont les ellipses, de
sommets secondaires (0, 0, a) et |
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Si l'on remplace les ellipses précédentes
par des cercles, on obtient une surface cerclée
de paramétrisation cylindrique : Cette dernière surface, homéomorphe à la précédente, est image par inversion du conoïde de Plücker d'ordre 1, les droites du conoïde devenant les cercles de ce bonnet croisé. |
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Deuxième famille (cf. paramétrisation
n°3) : les sections par les plans contenant
Oy En bleu le lieu des sommets. |
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Troisième famille (cf. paramétrisation
n°4) : les sections par les plans |
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Voici une version polyédrique du bonnet croisé.
Attention, ce n'est pas un vrai polyèdre : l'arête double centrale est commune à 4 faces. |
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Il ne faut pas confondre le bonnet croisé avec le pseudo-bonnet croisé :
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© Robert FERRÉOL 2014