Surface romaine

SURFACE ROMAINE
Roman surface, römische Fläche

Surface étudiée par Steiner en 1844.
Cette surface a été ainsi nommée par Steiner car il l'a découverte lors d'un séjour à Rome.

Équation cartésienne comme surface tétraédrique de Kümmer :

, où

,
de sorte que f = 0 est l'équation de la sphère de centre O et de rayon a et pqrs = 0 l'équation d'un tétraèdre régulier centré en O et dont les arêtes sont à distance a de O.
Équation cartésienne dans un repère tourné de 45° autour de Oz :

.
Paramétrisation cartésienne :

avec

;
soit, en faisant

de sorte que

.
Soit, encore, en faisant maintenant

Surface quartique unilatère, cas particulier de surface de Steiner.

La surface romaine est l'image de la sphère (centre O, rayon 1) quotientée par la relation d'antipodie (autrement dit le plan projectif réel) par l'application : .
C'est historiquement la première représentation du plan projectif réel comme surface de . Elle possède trois segments d'auto-intersection formant un trièdre trirectangle terminés chacun par deux points cuspidaux et se coupant en leur centre en un point triple (ici O).

La définition ci-dessus comme cas particulier de surface de Kummer montre qu'elle possède les symétries du tétraèdre régulier.
Avec la deuxième équation les sommets du tétraèdre sont les points , avec un nombre pair de signes -.

Vue montrant une partition en 4 parties isométriques (contenant les sommets du tétraèdre),
et une vue montrant une partition en 6 parties isométriques (contenant les arêtes du tétraèdre).

La surface romaine est de 3 façons réunion d'ellipses (avec la seconde équation ci-dessus, ce sont les sections par les plans contenant les axes) ; on pourrait dire que la surface romaine, à l'instar du bonnet croisé, est une surface triplement "ellipsée".
Ci-contre est représentée la famille d'ellipses situées dans les plans passant par la ligne double verticale.

Les sections par les plans perpendiculaires aux axes de rotation d'ordre 3 forme la famille des hypotrochoïdes à trois branches.
En particulier, la section par le plan central est le trifolium régulier.

Les sections par les plans perpendiculaires aux lignes doubles sont les lemniscates de Booth.

Voici enfin une version polyédrique de la surface romaine : et une autre, où les cubes ont été tronqués en des tétraèdres orthocentriques :

Retrouvez bien les les 3 segments doubles terminés par les 6 points de pincement, les 4 sommets et le point triple !

Attention 1 : si vous voyez les cubes en creux, vous êtes victime d'une illusion !
Attention 2 : ce n'est pas un vrai polyèdre : les arêtes doubles sont communes à 4 faces Là également, ce n'est pas non plus un polyèdre, mais si l'on réunit les faces centrales en 4 carrés, on obtient un polyèdre croisé, semi-régulier de surcroit, appelé tétrahémihexaèdre.

surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

La surface romaine est de 3 façons réunion d'ellipses (avec la seconde équation ci-dessus, ce sont les sections par les plans contenant les axes) ; on pourrait dire que la surface romaine, à l'instar du bonnet croisé, est une surface triplement "ellipsée". Ci-contre est représentée la famille d'ellipses situées dans les plans passant par la ligne double verticale.
Les sections par les plans perpendiculaires aux axes de rotation d'ordre 3 forme la famille des hypotrochoïdes à trois branches. En particulier, la section par le plan central est le trifolium régulier.
Les sections par les plans perpendiculaires aux lignes doubles sont les lemniscates de Booth.

Voici enfin une version polyédrique de la surface romaine :	et une autre, où les cubes ont été tronqués en des tétraèdres orthocentriques :
Retrouvez bien les les 3 segments doubles terminés par les 6 points de pincement, les 4 sommets et le point triple !
Attention 1 : si vous voyez les cubes en creux, vous êtes victime d'une illusion ! Attention 2 : ce n'est pas un vrai polyèdre : les arêtes doubles sont communes à 4 faces	Là également, ce n'est pas non plus un polyèdre, mais si l'on réunit les faces centrales en 4 carrés, on obtient un polyèdre croisé, semi-régulier de surcroit, appelé tétrahémihexaèdre.