Surface de Monge

SURFACE DE MONGE
Monge surface, Mongesche Fläche

Surface de Monge de génératrice une épicycloïde à 3 rebroussements et dont les parallèles sont dirigées par un horoptère.

Gaspard Monge (1746-1818) : mathématicien français.
Autres nom : surface moulure gauche, surface de type cylindrique.

Paramétrisation : où :
(M_p) est une courbe dirigeant les autres parallèles,
, , et étant les vecteur normal et binormal de cette courbe, et l'angle l'angle de torsion (voir les notations),
et est la paramétrisation d'une courbe plane quelconque (la génératrice).
Les lignes de courbure sont les génératrices et les parallèles.
L’aire de la portion de surface limitée par deux parallèles et deux génératrices est le produit de la longueur d’une portion de génératrice par la longueur de la courbe décrite par le centre de gravité des portions de génératrices.

Les surfaces de Monge sont les surfaces qui sont réunions de courbes parallèles deux à deux (appelées les parallèles) ; notion à ne pas confondre avec les surfaces de translation où les courbes sont translatées les unes des autres.

Les trajectoires orthogonales à ces parallèles sont des courbes planes isométriques entre elles, appelées génératrices ; les surfaces de Monge sont donc des surfaces de Darboux.

Elles possèdent ainsi 4 autres définitions équivalentes :

DEF 1 : réunion des courbes parallèles à une courbe donnée (l’une des parallèles) et s’appuyant sur une autre courbe donnée.

DEF 2 : surface engendrée par le mouvement d’une courbe (la génératrice) d'un plan dont tous les points ont un vecteur vitesse orthogonal à ce plan ; les points de la génératrice décrivent alors les parallèles.

DEF 3 : surface engendrée par une courbe plane (la génératrice) dont le plan roule sans glisser sur une surface développable, appelée la surface de roulement (qui est donc l’enveloppe du plan contenant la génératrice et la surface polaire commune aux parallèles).

DEF 4 : surface de Darboux dont les génératrices sont planes et en sont des lignes de courbure.

Plus généralement, lorsque les parallèles sont planes (ce qui équivaut à ce que la surface de roulement soit un cylindre), on obtient les surfaces moulure.

Lorsque les génératrices sont rectilignes, on obtient les surfaces développables ; lorsqu’elles sont circulaires, on obtient les surfaces tubulaires.

Voici ce qui arrive si on prend et au lieu de et dans la définition ci-dessus !

Si l'on rajoute une rotation régulière autour de la courbe centrale, on obtient la notion de rotoïde.

surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres