surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

SURFACE RETOURNABLE
Flippable surface, umkehrbare Fläche

Une surface retournable est une surface globalement invariante par retournement (ou demi-tour, ou rotation d'angle plat, ou symétrie axiale).

On reconnaît qu'une surface d'équation cartésienne  est invariante par retournement s'il existe un retournement r de  tel que .
Avec le signe +, le retournement n'échange pas les deux faces de la surface ; exemples ;
    - toutes les surfaces de révolution
    - l'ellipsoïde, les quadriques à centre, et plus généralement toutes les surfaces d'équation  qui sont invariantes par les 3 retournements autour des axes.
    - le bonnet croisé, et plus généralement toutes les surfaces d'équation  qui sont invariantes par le retournements autour de Oz.
 

Avec le signe –, le retournement échange les deux faces de la surface ; en prenant l'axe du retournement égal à la droite  on obtient une équation implicite générale de ces surfaces :  avec ; Exemples :

- le plan z = 0
- le paraboloïde hyperbolique
video 1
- le conoïde de Plücker
video 2
- la cyclide de Dupin parabolique symétrique
video 3
- la surface 
video 4
- la surface de Costa algébrique
video 5
- la surface 
video 6

- les surfaces minimales d'Enneper, et de Costa.

REM : toutes les surfaces de l'encadré ci-dessus ont une équation du type ; elles ont un groupe d'isométries formé de l'identité, du retournement autour de Oz qui n'inverse pas les faces, des deux retournements autour de , de deux réflexions, et deux antirotations d'ordre 4, groupe isomorphe aux isométries du carré.

Voir plus généralement les surfaces à symétrie de rotation.
 
 
surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL  2014