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SURFACE RETOURNABLE
Flippable
surface, umkehrbare Fläche
Une surface retournable est une surface globalement invariante par retournement (ou demi-tour, ou rotation d'angle plat, ou symétrie axiale).
On reconnaît qu'une surface d'équation cartésienne
est invariante par retournement s'il existe un retournement r de
tel que .
Avec le signe +, le retournement n'échange pas
les deux faces de la surface ; exemples ;
- toutes les surfaces
de révolution
- l'ellipsoïde,
les quadriques à centre, et plus généralement toutes
les surfaces d'équation
qui sont invariantes par les 3 retournements autour des axes.
- le bonnet
croisé, et plus généralement toutes les surfaces
d'équation
qui sont invariantes par le retournements autour de Oz.
Avec le signe –, le retournement échange les deux faces de la surface ; en prenant l'axe du retournement égal à la droite on obtient une équation implicite générale de ces surfaces : avec ; Exemples :
- le plan z = 0
- le paraboloïde hyperbolique |
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video 1 |
- le conoïde de Plücker |
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video 2 |
- la cyclide de Dupin parabolique symétrique |
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video 3 |
- la surface |
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video 4 |
- la surface de Costa algébrique : |
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video 5 |
- la surface |
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video 6 |
- les surfaces minimales d'Enneper, et de Costa.
REM : toutes les surfaces de l'encadré ci-dessus ont une équation du type ; elles ont un groupe d'isométries formé de l'identité, du retournement autour de Oz qui n'inverse pas les faces, des deux retournements autour de , de deux réflexions, et deux antirotations d'ordre 4, groupe isomorphe aux isométries du carré.
Voir plus généralement les surfaces
à symétrie de rotation.
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© Robert FERRÉOL 2014