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POLAIRE (RÉCIPROQUE) D'UNE COURBE
(Reciprocal) polar of a curve, (reziproke) Polare einer Kurve



 
 
 
 
 
 
Autre nom : courbe duale.

 
La polaire par rapport au cercle de centre O et de rayon a du point M0 (x0, y0) est la droite d'équation .
Si M0 est le point courant de (G0), le point courant M de la polaire de (G0) est défini par  ce qui donne :
en cartésien, soit  en complexes.

1) Quelques rappels sur les pôles et polaires.

Deux points M et M0 sont dits conjugués par rapport à un cercle (C) de centre O et de rayon a lorsque le cercle de diamètre [M0M] est orthogonal à  (C), ce qui se traduit par  ; ceci vient de ce que lorsque la droite (M0M) coupe le cercle en A et B, M et M0 sont conjugués harmoniques l'un de l'autre par rapport à [AB].

La polaire d’un point M0 par rapport à  (C) est alors le lieu des conjugués M du point  M0 par rapport au cercle, donc défini par la relation  ; c’est la droite orthogonale à la droite (OM0) passant par l’inverse de M0 par rapport à (C) ; c’est aussi l’axe radical du cercle (C) et du cercle de diamètre [OM0]. Quand M0 est extérieur à (C), c’est la droite qui joint les points de contact des tangentes issues de M0 au cercle (C). Inversement une droite est la polaire d’un unique point, appelé son pôle.
Bien que liée à l’inversion, l’espace naturel de cette transformation n’est pas le plan conforme, mais le plan projectif : la polaire du point O est alors la droite de l’infini, et la polaire d’un point à l’infini, la droite passant par O et perpendiculaire à la direction du point.

2) Définition de la polaire d'une courbe.

La polaire d'une courbe plane  par rapport à un cercle (C) (ou «de cercle directeur (C)») est l'enveloppe des polaires des points de  par rapport à (C) ; on démontre que c'est aussi l'ensemble des pôles des tangentes à  par rapport à (C).
 
Le point caractéristique de la polaire de M0 est aussi le pôle de la la tangente à  en M0 ; c'est donc le point d'intersction de la perpendiculaire à cette tangente passant par O et de la polaire. Le point N décrit donc la podaire de , et le point M, l'inverse de cette podaire.

Cette transformation, appelée transformation par polaires réciproques est involutive, autrement dit, la polaire de la polaire est égale à la courbe de départ.

L'inverse de la polaire par rapport au même cercle n'est autre que la podaire de la courbe de départ ; on peut résumer ceci par le diagramme :

Voir deux exemples ci-contre :

La polaire d'une courbe algébrique est une courbe algébrique dont le degré est égal à la classe de la courbe de départ (c'est à dire le degré de l'équation tangentielle).

Exemples :
 
courbe de départ position par rapport à la courbe de départ du centre de (C) position par rapport à la polaire du centre de (C) polaire
droite (polaire du point) hors de la droite  différent du point point (pôle de la droite)
conique     conique
conique foyer   cercle
conique à l'intérieur de la conique (i.e. dans une région contenant un foyer)   ellipse
conique à l'extérieur de la conique    hyperbole
conique sur la conique   parabole
cardioïde point de rebroussement foyer au 8/9 ème du segment joignant le point double au sommet. cubique de Tschirnhausen
cardioïde centre du cercle conchoïdal foyer trisectrice de Maclaurin
deltoïde centre sommet cubique duplicatrice
astroïde centre centre cruciforme
cycloïde à centre centre centre épi
spirale sinusoïdale de paramètre. centre centre spirale sinusoïdale de paramètre .

Voir la généralisation à la 3D de ces notions.
 
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© Robert FERRÉOL 2017