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HYPERBOLOÏDE À DEUX NAPPES H2
Two-sheet hyperboloid, zweichaliges Hyperboloide

Équation cartésienne : ,.
Pour a = b : hyperboloïde à deux nappes de révolution.
Pour a = b = c : hyperboloïde à deux nappes équilatère.
Pëtit exercice : quel est le type de la quadrique ?
Réponse : par changement de repère ON tel que OZ soit la droite x=y=z on tombe sur 
Donc un H1 pour , un cône pour , un H2 pour  tous de révolution autour de OZ.
Paramétrisation cartésienne 
             - dont les lignes de coordonnées donnent une famille d'hyperbole et une famille d'ellipses :
, ou , ou encore :  .
               - dont les lignes de coordonnées sont les lignes de courbure :

avec, pour c < b < a
Les valeurs u = v = a² donnent les 4 ombilics, de coordonnées 
Equation cylindrique dans le cas de líhyperboloïde de révolution : 

Élément de surface :
Courbure totale :  où  est la distance de O au plan tangent au point considéré. 

L'hyperboloïde à deux nappes est la seule quadrique non connexe.

L'hyperboloïde à deux nappes de révolution peut être défini comme la surface de révolution engendrée par la rotation d'une hyperbole autour de son axe transverse. C'est le lieu des points M vérifiant , où F et F' sont les les foyers communs à ces hyperboles.
 
 
Vue des lignes de courbure de l'hyperboloïde à deux nappes ; ce ne sont des cercles et des hyperboles que dans le cas de l'hyperboloïde de révolution, sinon, ce sont des biquadratiques.
Les 4 points siguliers sont les ombilics.

 
Vue de l'une des deux familles de cercles incluse dans tout H2, même non de révolution, avec les deux ombilics correspondants.

Voir aussi à spirale de Poinsot.
 
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© Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2012