Ces exemples sont des cas particulier des mouvements obtenus par glissement, étudiés sur cette page.

EXEMPLE 1

Mouvement du système coulisse-manivelle, dit conchoïdal circulaire. Mouvement du plan entraîné par une bielle dont une extrémité a un mouvement circulaire et passant par un point fixe.	Mouvement du système bielle-manivelle. Mouvement du plan entraîné par une bielle dont une extrémité a un mouvement circulaire et l'autre rectiligne (sur une droite passant par le centre du cercle)

La base (en mauve) est le lieu du centre instantané de rotation dans le plan fixe, et la roulante (en turquoise) est le lieu de ce centre dans le plan mobile. On constate dans les exemples ci-dessus que les bases et roulantes s'échangent ; quelle est l'explication ?

Pour un observateur placé sur la bielle [PQ], le point O a un mouvement circulaire autour de P ;  la distance AO étant constante, pour lui, le segment [AO] est une bielle dont l'extrémité A a un mouvement rectiligne le long de [PQ] et l'autre extrémité O un mouvement circulaire entraîné par la manivelle [PO]. Le mouvement relatif du plan mobile par rapport au plan fixe est donc celui étudié dans la colonne de droite, d'où l'explication de l'échange des bases et roulantes. Le vecteur vitesse de A  (considéré comme point du plan mobile) étant porté par (PA), et celui de P étant tangent à (C), le centre instantané de rotation M est à l'intersection de la perpendiculaire à (PQ) passant par A et de la droite (OP). La base, lieu de M dans le plan fixe, est donc par définition la courbe de Jerabek.

Pour un observateur placé sur la bielle [PQ], le point O a un mouvement circulaire autour de P ; pour lui, la droite (OQ) est une bielle dont l'extrémité O a un mouvement circulaire et coulissant par le point fixe Q. Le mouvement relatif du plan mobile par rapport au plan fixe est donc celui étudié dans la colonne de gauche, d'où l'explication de l'échange des bases et roulantes. Le vecteur vitesse de Q  (considéré comme point du plan mobile) étant porté par (OQ), et celui de P étant perpendiculaire à [OP], le centre instantané de rotation M est à l'intersection de la perpendiculaire à (OQ) passant par Q et de la droite (OP). La base, lieu de M dans le plan fixe, n'ayant pas à ma connaissance reçu de nom, je l'ai nommée "base du système bielle-manivelle".

Les deux mouvements sont dits duaux, ou inverses l'un de l'autre

Tracé animé de deux roulettes (trajectoires dans le plan fixe de points fixes dans le plan mobile). Les points qui sont sur la droite contenant la bielle tracent des conchoïdes du cercle bleu ; les autres points tracent des isoconchoïdes ; voir à conchoïde de cercle.

Tracé animé de 3 roulettes, dont la circulaire et la rectiligne. Les roulettes sont des courbes de la bielle de Bérard.

EXEMPLE 2

Mouvement conchoïdal rectiligne. Mouvement du plan entraîné par une tige dont une extrémité a un mouvement rectiligne et passant par un point fixe.	Mouvement de l'équerre, ou "du kappa". Mouvement du plan entraîné par une équerre dont un côté coulisse par un point O et un point fixe de l'autre côté décrit une droite passant par O.

On constate de nouveau que les bases et roulantes s'échangent ; avez-vous l'explication ?

Pour un observateur placé sur la tige [PO], l'angle droit (OQP) a une extrémité O ayant un mouvement rectiligne le long de (OP) et un côté [QP) qui coulisse par le point P (qui est fixe pour l'observateur). Le mouvement relatif du plan mobile par rapport au plan fixe est donc celui étudié dans la colonne de droite, d'où l'explication de l'échange des bases et roulantes. Le vecteur vitesse de O  (considéré comme point du plan mobile) étant porté par (PO), et celui de P étant porté par (D), le centre instantané de rotation M est à l'intersection de la perpendiculaire à (PO) passant par O et de la perpendiculaire à (D) passant par P.   On montre que la base, lieu de M dans le plan fixe, est une parabole (foyer F vérifiant).

Pour un observateur placé sur la tige [PQ], le point O a un mouvement rectiligne (le long de la droite (OP) qui est fixe pour lui) et emmène avec lui la tige (OQ) qui coulisse en Q. Le mouvement relatif du plan mobile par rapport au plan fixe est donc celui étudié dans la colonne de gauche, d'où l'explication de l'échange des bases et roulantes. Le vecteur vitesse de Q  (considéré comme point du plan mobile) étant porté par (OQ), et celui de O étant perpendiculaire à [OP], le centre instantané de rotation M est à l'intersection de la perpendiculaire à (OQ) passant par Q et de la perpendiculaire à (OP) passant par O . On montre que la base, lieu de M dans le plan fixe, est une campyle d'Eudoxe.

Tracé animé de deux roulettes. Les points qui sont sur la droite contenant la tige tracent des conchoïdes de la droite bleue ; les autres points tracent des isoconchoïdes ; voir à conchoïde de Nicomède.

Tracé animé de deux roulettes. Le sommet de l'équerre décrit un kappa. Les points de la droite coulissante tracent donc des conchoïdes de kappa, et les autres points des isoconchoïdes. Comparer avec l'équerre de Newton (système similaire, mais la droite décrite par le point Q ne passe pas par O), dont des roulettes sont les cubiques circulaires rationnelles droites.

EXEMPLE 3

Mouvement du plan lié à une ellipse passant par deux points fixes. Cas où le petit axe de l'ellipse est égal à la distance entre les deux points.	Mouvement du plan lié à une barre dont les extrémités coulissent sur une ellipse, dual du précédent. Cas où le petit axe de l'ellipse est égal à la distance entre les deux points.
Même animation avec le tracé des roulettes des 4 sommets de l'ellipse.	Même animation avec le tracé d'une roulette.

Paramétrisation de la base ci-dessus : ;  Voir aussi cette page d'Alain Esculier.
 

© Robert FERRÉOL , Alain ESCULIER 2013