Conchoïde de Nicomède

CONCHOÏDE DE NICOMÈDE
Conchoid of Nicomedes, Muschellinie des Nikomedes

Du grec Kogkhoeidês : semblable à une coquille (cf. la conchyliculture : élevage des coquillages).
Nicomède (IIe siècle avant J.C.) : mathématicien grec.

Équation polaire :

.
Équation cartésienne :

.
Paramétrisation cartésienne rationnelle :

(en prenant

).
Quartique circulaire rationnelle.

Les conchoïdes de Nicomède sont les conchoïdes de droite (ici, la droite est (D) d'équation x = a ; b peut être pris > 0 sans restreindre la généralité).

Elles possèdent deux branches asymptotes à la droite (D), celle de gauche étant ordinaire pour 0 < b < a, à point de rebroussement pour b = a et à boucle pour b > a .

0 < b < a
a = b
b > a

Les conchoïdes de Nicomède sont aussi les cissoïdales du cercle de centre O et de rayon b, et de la droite (D) relativement au centre du cercle.

Les conchoïdes de Nicomède sont des trisectrices ; ci-contre on voit la trisection d'un angle de 30° () ; il est à noter qu'à chaque angle à trisecter correspond une conchoïde différente ().
Méthode : construire un triangle OHI rectangle en H, tel que OIH soit l'angle à trisecter. Construire la conchoïde de la droite (IH) de pôle O et de module OI ; le cercle de centre I et de rayon OI coupe la conchoïde en M symétrique de O par rapport à I, et en un deuxième point N indiqué dont la construction ne peut être qu'approchée. L'angle trisecté est NIJ.

Pour b = 2a, la conchoïde de Nicomède est aussi une duplicatrice (voir [GomesTexeira] page 266, ou [Carrega] page 72).

On peut s'intéresser plus généralement au mouvement plan sur plan dit conchoïdal rectiligne, le plan mobile étant le plan lié à la droite (O),décrivant la droite (D) (et étant fixe dans le plan mobile) : en effet, les conchoïdes de Nicomède sont les roulettes de ce mouvement, pour des points traceurs situés sur la droite (O).

En reprenant les notations de cette page, on a : .
Dans le repère centré en (a, 0), la base est donc la parabole:, la roulante la campyle d'Eudoxe d'équation polaire et les roulettes les courbes : qui redonnent bien les conchoïdes pour .

Les conchoïdes de droite sont donc les lieux des points de l'axe transverse d'une campyle roulant sans glisser sur une parabole.
Les autres roulettes de ce mouvement plan sur plan sont les lieux du point M d'un angle fixe , décrivant la droite (D).
Figurent ci-contre une conchoïde de droite et une autre roulette, obtenue pour ; cette dernière courbe a été appelée "orthoconchoïde de droite" par Neuberg en 1904, et l'on pourrait appeler une roulette quelconque "isoconchoïde de droite".
Loria p. 274.

Le mouvement obtenu en échangeant base et roulante est celui du kappa.

Voir ici pourquoi des portions de conchoïdes de Nicomède apparaissent dans une anamorphose conique.

Trace-conchoïde

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres