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Circle,
Kreis
1) Dans un repère de centre le centre du cercle
Équation polaire : Équation cartésienne : Conique. Paramétrisation cartésienne : Paramétrisation cartésienne rationnelle : Abscisse curviligne : Angle tangentiel polaire : Rayon de courbure, équation intrinsèque 1 : Équation intrinsèque 2 : Longueur : |
2) Équation cartésienne générale
: Équation cartésienne du cercle de centre Paramétrisation cartésienne : Équation polaire : |
3) Dans un repère centré sur le cercle,
équation polaire réduite : Abscisse curviligne : Angle tangentiel polaire : Aire de la zone obtenue pour |
Un cercle est le lieu formé des points du plan
équidistants d'un point fixe.
Il peut être défini comme "conique circulaire"
ou "conique propre d’excentricité nulle", ou "courbe à courbure
constante et torsion nulle".
Cinématiquement, les cercles sont les trajectoires
des mouvements à vitesse angulaire constante. En effet,
a pour solutions
et
.
Les courbes à normale constante (N = cte, cf. notations) sont les cercles centré sur Ox (plus les droites parallèles à Ox).
Etant donnés deux points distincts A et
B,
le lieu des points M tel que l'angle de droites (MA,
MB)
est constant est un cercle dont est une corde [AB] (isoptique
du segment [AB]).
Le lieu des points M vérifiant Le cercle d'Apollonius est donc aussi le lieu des points M voyant les segments [AI] et [BI] sous le même angle ((MA,MI)=(MI,MB)) ; idem pour [AJ] et [BJ]. Voir ce site. NB : ne pas confondre avec les cercles d'Apollonius associés à 3 cercles (cf. ci-dessous).
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Pour k variant, ces cercles forment un faisceau
de cercles à points limites A et B ; le
faisceau conjugué est l'ensemble des cercles passant par A
et B (dit, à points de base A et B)
et chaque faisceau est l'ensemble des cercles orthogonaux à l'un
des cercles de l'autre faisceau.
Cette figure s'interprète comme formée de
lignes de champ magnétiques ou électrostatique ; voir ici.
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Le cercle est aussi la solution du problème isopérimétrique
: trouver la courbe fermée simple de longueur donnée qui
enserre une aire maximale (ou de longueur minimale pour une aire donnée).
De même, l'arc de courbe de longueur donnée L joignant deux points donnés A et B, situé dans un demi plan délimité par (AB) et enserrant la plus grande aire dans ce demi-plan est l'un des 2 arcs de cercle de longueur L joignant A à B (à vérifier : si on cherche la zone dont le centre de gravité est le plus éloigné de (AB), c'est alors un arc de chaînette). |
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Un autre problème célèbre concernant les cercles, posé déjà par Apollonius, est celui de déterminer les cercles tangents à 3 cercles donnés ; il y a en général 8 solutions comme dans les exemples ci-contre, mais seulement 2 lorsque les 3 cercles sont tangents deux à deux (voir la baderne d'Apollonius). |
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Voir aussi les courbes à accélération angulaire constante, les cercles géodésiques, tracés sur des surfaces, et les cercles gauches.
La quadrature du cercle par morphing...
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© Robert FERRÉOL 2020