Courbe étudiée par Jean Bernoulli en 1742 (Opera, T IV, p. 248). Nom maison ; autres noms : spirale du cosinus hyperbolique, spirale du sinus hyperbolique.

 

Équation polaire : .

La spirale de la tige en rotation est la trajectoire d'un anneau pesant coulissant sans frottement sur une tige horizontale en rotation autour d'un centre, lorsque l'anneau va à l'infini. Voir sur ce site une démonstration de l'obtention de l'équation polaire ci-dessus.
 

Cas b =  a : l'équation s'écrit .	Cas b = – a : l'équation s'écrit .	Cas b = – 2a.

On peut noter que la courbe est semblable à celle du premier cas si ab > 0 car alors  et semblable à celle du deuxième cas si ab < 0 car alors  ; dans tous les cas où a et b sont non nuls, la spirale possède donc un axe de symétrie comme la spirale d'Archimède ; mais  les deux branches infinies sont asymptotes à des spirales logarithmiques.

D'après le site précédent, il y a aussi des cas où l'anneau oscille sur la tige ; la courbe est alors une épitrochoïde.

Ces spirales sont les inverses des spirales de Poinsot.
Voir aussi la spirale de la tangente hyperbolique.
 

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