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TROCHOÏDE À CENTRE, POLYTROCHOÏDE
Centred
trochoid, zentrirte Trochoide
Courbe étudiée par Dürer (1525), Desargues
(1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (1690),
Jacob Bernoulli (1690), la Hire(1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel
Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781).
Voir aussi : Eric Guiot, Trajectory under harmonic potential and magnetic force. |
Paramétrisation complexe : Équation différentielle : |
Le terme de trochoïde à centre permet
de regrouper les épi-
et hypotrochoïdes.
Les trochoïdes à centre sont donc les trajectoires des mouvements
composé de deux mouvements circulaires uniformes.
Elles contiennent les cycloïdes
à centre (cas ,
vitesses égales) et les rosaces
(cas
,
rayons égaux).
Lorsque
(accélérations centripètes égales), on obtient
les trochoïdes à méplat.
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Interprétation électromagnétique
(voir lien
Éric Guiot).
En écrivant l'équation différentielle sous la forme Avec Notons que si |
L'expression |
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... ou comme milieu de deux points sous la forme |
![]() |
En écrivant |
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En écrivant |
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Et d'ailleurs tous les barycentres à coefficients
fixés de deux points décrivant des mouvements circulaires
uniformes décrivent des trochoïdes à centres.
Image réalisée avec geogebra par André Chauvière. |
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Les trochoïdes à centre sont aussi les projections sur le plan xOy des courbes des satellites.
Cette notion se généralise à la trajectoire
d'un mouvement composé d'un nombre fini de n mouvements circulaires
uniformes, de sens quelconques pouvant prendre le nom de polytrochoïde.
La trisectrice de Céva, la néphroïde de Freeth et la torpille sont des exemples de tritrochoïdes, ainsi que cet élégant quintifolium dissymétrique : |
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C'est une trajectoire de ce type que parcourent ces adeptes des chaudrons magiques du parc Astérix ; les chaudrons décrivent des épitrochoïdes ; si le chaudron tourne sur lui même, la courbe décrite par les occupants est une tritrochoïde. | ![]() |
Autre exemple de tritrochoïde |
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Quitte à augmenter la valeur de n, on peut, par une polytrochoïde, approcher toute courbe ; voir par exemple cette page. | ![]() |
Un exemple de 2n +1-trochoïde est la 2n
+1-sectrice de Céva de paramétrisation complexe .
Voir aussi les trochoïdes
à base quelconque.
La généralisation à l'espace est
la notion de trochoïde
sphérique.
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© Robert FERRÉOL 2018