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NEPHROÏDE DE FREETH
Freeth's
nephroid, Freethsche Nierenkurve
Courbe étudiée par Freeth en 1879.
T. J. Freeth (1819 - 1904) : mathématicien anglais. Loria p. 329. |
La néphroïde de Freeth est la strophoïdale
d’un cercle relativement à deux points O et A, A
étant sur le cercle et O le centre du cercle : un point M0
décrivant le cercle, la courbe est le lieu des points M de
la droite (AM0) tels que M0M
= M0A.
|
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Dans le repère de centre O tel que A(a,0)
:
Équation polaire : Équation cartésienne : Sextique rationnelle (point double en O, triple en A). |
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Dans un repère de centre A tel que O(a,0)
:
Équation polaire : Paramétrisation complexe : Aire du domaine limité par la partie externe : |
La première équation montre que la néphroïde
de Freeth est une conchoïde
du folium de Dürer.
Mais la néphroïde de Freeth est aussi la
podaire
de la cardioïde : |
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La paramétrisation complexe ci-dessus montre que la nephroïde de Freeth est une tritrochoïde. |
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La néphroïde de freeth est aussi une strophoïdale de cercle (voir cette page).
Pour ,
; la néphroïde de Freeth permet donc de construire l’heptagone
régulier.
GÉNÉRALISATION
La néphroïde de Freeth est le cas n
= 4 de la famille de courbes de paramétrisation complexe : Le cas n = 3 donne le limaçon trisecteur et lorsque n tend vers l'infini, la courbe limite est la cochléoïde: |
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© Robert FERRÉOL 2020