Noeud polygonal progressif

NŒUD POLYGONAL PROGRESSIF
Polygonal knot, Polygonknoten

L'idée à la base de ces noeuds est de généraliser le valknut scandinave représenté ci-contre.
Nom maison.
Figures réalisées par Alain Esculier.

Le noeud polygonal progressif est construit comme suit : étant donné p polygones réguliers à n côtés concentriques comme indiqué sur la figure (où n = 5, p = 4), on démarre sur un côté du polygone 1, puis on passe successivement sur le 2, le 3,..., le n, puis on revient sur le 1, etc., avec, sans précisions supplémentaires, un passage alternatif dessus-dessous.
Si n et p sont premiers entre eux, on obtient ainsi une ligne polygonale à np segments tournant p fois autour du centre, donnant un noeud à croisements, trivial si p = 1.
On obtient le noeud torique de type (n, 2) si p = 2, et plus généralement, le bonnet turc de type (n,p).
Si n et p ont un pgcd d, on ne tourne que p/d fois autour du centre, donnant une ligne polygonale à np/d segments. Mais si on pivote d fois d'un d-ième de tour cette ligne polygonale, on obtient un entrelacs à d composantes et croisements, qui n'est, lui aussi autre que le bonnet turc de type (n,p).

Cas n = 3 :

p = 2, d = 1, N = 3 : noeud de trèfle p = 3, d = 3, N = 6 : anneaux de Borromée p = 4, d = 1, N = 9 : bonnet turc de type (3,4), noeud premier 9.1.40 p = 5, d = 1, N = 12, bonnet turc de type (3,5).

Cas n = 4 :

p = 2, d = 2, N = 4 : entrelacs de Hopf p = 3, d = 1, N = 8 : bonnet turc de type (4,3), noeud premier 8.1.18 p = 4, d = 4, N = 12 : bonnet turc de type (4,4), entrelacs à 4 boucles chaque boucle étant enlacée avec chaque autre. p = 5, d = 1, N = 16 : bonnet turc de type (4,5), noeud à 16 croisements.

Cas n = 5 :

p = 2, d = 1, N = 5 : noeud torique (5, 2). p = 3, d = 1, N = 10 : bonnet turc (5,3), noeud premier 10.1.123 p = 4, d = 1, N = 15 : bonnet turc (5,4), noeud premier à 15 croisements p = 5, d = 5, N = 20 : bonnet turc (5,5), entrelacs brunien à 5 boucles.

Cas n = 6 :

p = 2, d = 2, N = 6 : entrelacs torique (6, 2). p = 3, d = 3, N = 12 : bonnet turc (6,3), entrelacs brunien à 3 boucles. p = 4, d = 2, N = 18 : bonnet turc (6,4), entrelacs formé de deux noeuds de trèfles enlacés p = 5, d = 1, N = 24 : bonnet turc (6,5), noeud premier à 24 croisements p = 6, d = 6, N = 30 : bonnet turc (6,6), entrelacs formé de 6 boucles enlacées deux à deux.

On constate que pour p = n, on obtient un entrelacs à boucles deux à deux non nouées pour n impair, et au contraire à boucles deux à deux enlacées, pour n pair.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres


p = 2, d = 1, N = 3 : noeud de trèfle	p = 3, d = 3, N = 6 : anneaux de Borromée	p = 4, d = 1, N = 9 : bonnet turc de type (3,4), noeud premier 9.1.40	p = 5, d = 1, N = 12, bonnet turc de type (3,5).


p = 2, d = 2, N = 4 : entrelacs de Hopf	p = 3, d = 1, N = 8 : bonnet turc de type (4,3), noeud premier 8.1.18	p = 4, d = 4, N = 12 : bonnet turc de type (4,4), entrelacs à 4 boucles chaque boucle étant enlacée avec chaque autre.	p = 5, d = 1, N = 16 : bonnet turc de type (4,5), noeud à 16 croisements.


p = 2, d = 1, N = 5 : noeud torique (5, 2).	p = 3, d = 1, N = 10 : bonnet turc (5,3), noeud premier 10.1.123	p = 4, d = 1, N = 15 : bonnet turc (5,4), noeud premier à 15 croisements	p = 5, d = 5, N = 20 : bonnet turc (5,5), entrelacs brunien à 5 boucles.


p = 2, d = 2, N = 6 : entrelacs torique (6, 2).	p = 3, d = 3, N = 12 : bonnet turc (6,3), entrelacs brunien à 3 boucles.	p = 4, d = 2, N = 18 : bonnet turc (6,4), entrelacs formé de deux noeuds de trèfles enlacés	p = 5, d = 1, N = 24 : bonnet turc (6,5), noeud premier à 24 croisements	p = 6, d = 6, N = 30 : bonnet turc (6,6), entrelacs formé de 6 boucles enlacées deux à deux.