En 1888, Walther von Dick montrait que la somme connexe de 3 plans projectifs était topologiquement équivalente à la somme connexe d'un tore avec un plan projectif (). Cette surface à deux formes est appelée depuis surface de Dyck.

Concrètement, si l'on part d'une surface homéomorphe à la sphère (nous avons pris ci-dessus un cube), on obtient  en découpant 3 disques dans cette surface et en cousant bord à bord 3 rubans de Möbius (nous avons pris ci-dessus des bonnets croisés troués), et on obtient  en découpant un disque dans un tore, et en cousant bord à bord un ruban de Möbius.
Notons que si  et  sont équivalents,  et  ne le sont pas (  est la bouteille de Klein).

La surface de Dyck est caractérisée par le fait que c'est une surface compacte connexe sans bord
     - unilatère de genre 2,
ou - de caractéristique d'Euler-Poincaré -1.
 

Christoph Soland a une vision plus esthétique de la surface de Dyck que les représentations ci-dessus.  Il part de la surface minimale de Riemann finie ci-contre qu'il imagine dans l'espace projectif de dimension 3. Les deux bords b des nappes en caténoïde sont alors identifiés comme indiqué et le bord a,a, de la nappe centrale subit une identification similaire à celle du plan projectif. Par aplatissement, on obtient l'ovale à deux trous ci-contre, et par chirurgie, l'octogone situé en dessous. Les 8 arêtes étant identifiées 2 à 2, et les huit sommets 4 à 4, cet octogone a 1 face, 4 arêtes et 2 sommets, S-A+F=-1 : c'est la surface de Dyck.

Christoph Soland a réalisé cette surface en sculpture de fil de fer qu'il a baptisée "janus bifrons" (dieu à 2 têtes). Elle est exposée au gymnase du Bugnon, Lausanne, Suisse.

 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERREOL  2014