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SURFACE POLAIRE D'UNE COURBE
Polar torse of a curve, Polartorse einer Kurve

Surface polaire de la courbe de la crêpe


Notion étudiée et ainsi nommée par Monge en 1785.
La surface polaire s'appelle ainsi car les points de l'axe de symétrie d'un cercle s'appelle les pôles de ce cercle (ceci car toute sphère passant par ce cercle sera transpercée par l'axe de ce cercle en ses pôles).
Autre nom : développable polaire.
cf. Lelong Ferrand Arnaudiès T. 3 page 708.

 
Pour une courbe de départ :  de point courant M la surface polaire est l'ensemble des points v décrivant R ; utiliser  (voir les notations).

Le centre de la sphère osculatrice est obtenu pour .

Si  a pour représentation , on obtient aussi l'équation de la droite polaire comme intersection du plan normal  avec le plan obtenu en dérivant cette équation par rapport à t.

La notion de surface polaire est la généralisation à l'espace de la notion de développée dans le plan.

La surface polaire d'une courbe est l'enveloppe de ses plans normaux ; deux plans normaux infiniment voisins se coupant suivant l'axe de symétrie du cercle de courbure, la surface polaire est aussi la réunion des axes des cercles de courbures de la courbe, soit la réunion des droites passant par le centre de courbure et orthogonales au plan osculateur (appelées droites polaires ou axes de courbure).

C'est une surface développable qui est un cylindre ssi la courbe de départ est plane (la surface polaire est alors le cylindre orthogonal au plan de la courbe construit sur sa développée) et qui est un cône ssi la courbe de départ est sphérique. Dans les autres cas, l'arête de rebroussement de la surface polaire est le lieu des centres des sphères osculatrices à la courbe, parfois appelés centres de courbure sphériques, ou centres de torsion.

La surface polaire est aussi la réunion des développées de la courbe, et ces développées sont des géodésiques (courbes qui se développent en des droites) de la surface polaire.

Exemple : la surface polaire de l'hélice circulaire est l'hélicoïde développable engendré par les tangentes à l'hélice symétrique par rapport à l'axe :

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© Robert FERRÉOL 2015