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COURBE DE CLAIRAUT
Clairaut's
curve, clairautsche Kurve
Courbes étudiées par Clairaut en 1726.
Autre nom : (courbe) multiplicatrice de Clairaut. |
Équation polaire : Équation cartésienne : Courbe algébrique
si et seulement si n est rationnel.
|
Les courbes de Clairaut sont définies par leur équation polaire ci-dessus.
Exemples pour n positif (partie d'ordonnée positive) :
![]() n = 1 : cercle |
![]() n = 2 : oeuf double |
![]() n = 3 : folium simple |
![]() n = 1/2 : courbe du dipôle |
![]() n = 3/2 |
![]() n = 5/2 |
![]() n = 1/3 |
![]() n = 2/3 |
![]() n = 4/3 |
Exemples pour n négatif (partie d'ordonnée positive) :
![]() n = -1 : droite y = a |
![]() n = -2 : kampyle d'Eudoxe |
![]() n = -3 : cubique duplicatrice |
![]() n =- 1/2 : cf. quartique de Külp |
![]() n = -3/2 |
![]() n = -5/2 |
![]() n = -1/3 : cf cubique d'Agnesi |
![]() n = -2/3 : courbe de Roche. |
![]() n = -4/3 |
Les courbes de Clairaut sont les glissettes
des spirales sinusoïdales
;
plus précisément, si on fait glisser la spirale sinusoïdale de paramètre n : D'après le théorème d'équivalence glissette/roulette (voir à glissettes) les courbes de Clairaut sont donc aussi les roulettes rectilignes des développées des spirales sinusoïdales. Exemples :
|
![]() |
Les trajectoires
orthogonales des diverses courbes de Clairaut de paramètre n Ci-contre les cas n = 1 et 2. |
![]() ![]() |
La courbe de Clairaut de paramètre n est
aussi la radiale de la courbe
de Ribaucour de paramètre n + 1.
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© Robert FERRÉOL 2012