Cubique d'Agnesi

CUBIQUE D'AGNESI
Witch of Agnesi, Versiera

Courbe étudiée par Pierre de Fermat en 1630 puis par Guido Grandi en 1703 et par Maria Gaetana Agnesi en 1748.
Autres noms : versiera (= diablesse en italien), cloche de Cauchy.
Explication de ces diableries :
Grandi donne à cette courbe en 1703 le nom latin de versoria (signifiant "corde servant à virer de bord", du verbe versare, "tourner").
En 1748, Agnesi change le nom en versiera qui est aussi une aphérèse de avversiera, signifiant "sorcière" en vieil italien (du latin adversarius : adversaire, nom métaphorique du Diable).
Enfin, John Colson, dans sa traduction de l'oeuvre d'Agnesi, utlise l'expression witch (sorcière) of Agnesi, que les anglophones ont conservée.
Maria Gaetana Agnesi : mathématicienne italienne (1718-1799) :

Équation cartésienne :, soit .
Cubique rationnelle à point isolé (situé à l'infini dans la direction de Oy).
Paramétrisation cartésienne : .
Aire du domaine délimité par la courbe et son asymptote : (soit 4 fois celle du cercle (C) ci-dessous).
Volume du solide engendré par la révolution de la courbe autour de son asymptote : .

La cubique d'Agnesi est l'hyperbolisme du cercle par rapport à l'un de ses points et la tangente diamétralement opposée à ce point.
Ici, le cercle est le cercle de diamètre [OA], avec A(0, a).
C'est donc un cas particulier d'oeuf de Granville.

Comme l'anguinée, c'est une projection de l'horoptère.

L'équation cartésienne montre que la cubique d'Agnesi est un cas particulier d'hyperbole cubique.
La transformation homographique : transforme donc la cubique d'Agnesi : en la parabole divergente : qui a son point isolé en O ; ceci est une illustration du théorème de Newton ramenant toutes les cubiques aux paraboles divergentes par perspective.
Dans la figure ci-contre, nous avons utilisé au lieu de pour plus de lisibilité.

La perspective d'une cubique d'Agnesi est une parabole divergente.
La cubique d'Agnesi (en rouge en haut) est projectivement
équivalente à une parabole divergente (en rouge en bas).

Il ne faut pas confondre la cubique d'Agnesi avec la courbe en cloche (de Gauss), courante en probabilités, qui est transcendante !
Mais la cubique d'Agnesi est aussi utilisée en probabilités, car c'est la courbe de la fonction de densité d'une loi de Cauchy (d'où le nom de "cloche de Cauchy").

Par contre, une autre cubique (en vert ci-contre) ressemble aussi à la cubique d'Agnesi :
Equation cartésienne : (au lieu de )
Equation polaire : .
Cette courbe est aussi un cas particulier d'hyperbole cubique, mais elle n'est pas rationnelle.
Voir la rotation 3D de cette courbe à "surface de révolution".

Particularité du domaine homogène limité par la courbe et son asymptote : bien que d'aire finie, il ne possède pas, en toute rigueur, de centre de gravité, qui devrait avoir pour coordonnées , car la première intégrale est divergente (propriété équivalente au fait que la loi de Cauchy ne possède pas d'espérance).
Mais si l'on accepte que cette intégrale soit nulle (fonction impaire), ce centre a pour coordonnées .
De même, la partie de ce domaine située à droite de l'axe Oy n'a pas de centre de gravité à distance finie, car . En rouge, trajectoire du centre de gravité de la portion du domaine entre les droites x=0, et x=a quand a varie de 0 à l'infini. Cette trajectoire est asymptote à la droite y = a/4, si bien qu'on peut considérer que le centre de gravité du domaine complet est le point à l'infini de ctte droite.

La cubique d'Agnesi est aussi une directrice du conoïde de Plücker et du parapluie de Cartan.

Comparer cette courbe avec la visiera et la quartique de Külp.

La cubique d'Agnesi est l'hyperbolisme du cercle par rapport à l'un de ses points et la tangente diamétralement opposée à ce point. Ici, le cercle est le cercle de diamètre [OA], avec A(0, a). C'est donc un cas particulier d'oeuf de Granville.
Comme l'anguinée, c'est une projection de l'horoptère.
L'équation cartésienne montre que la cubique d'Agnesi est un cas particulier d'hyperbole cubique. La transformation homographique : transforme donc la cubique d'Agnesi : en la parabole divergente : qui a son point isolé en O ; ceci est une illustration du théorème de Newton ramenant toutes les cubiques aux paraboles divergentes par perspective. Dans la figure ci-contre, nous avons utilisé au lieu de pour plus de lisibilité.	La perspective d'une cubique d'Agnesi est une parabole divergente. La cubique d'Agnesi (en rouge en haut) est projectivement équivalente à une parabole divergente (en rouge en bas).
Il ne faut pas confondre la cubique d'Agnesi avec la courbe en cloche (de Gauss), courante en probabilités, qui est transcendante ! Mais la cubique d'Agnesi est aussi utilisée en probabilités, car c'est la courbe de la fonction de densité d'une loi de Cauchy (d'où le nom de "cloche de Cauchy").
Par contre, une autre cubique (en vert ci-contre) ressemble aussi à la cubique d'Agnesi : Equation cartésienne : (au lieu de ) Equation polaire : . Cette courbe est aussi un cas particulier d'hyperbole cubique, mais elle n'est pas rationnelle. Voir la rotation 3D de cette courbe à "surface de révolution".
Particularité du domaine homogène limité par la courbe et son asymptote : bien que d'aire finie, il ne possède pas, en toute rigueur, de centre de gravité, qui devrait avoir pour coordonnées , car la première intégrale est divergente (propriété équivalente au fait que la loi de Cauchy ne possède pas d'espérance). Mais si l'on accepte que cette intégrale soit nulle (fonction impaire), ce centre a pour coordonnées . De même, la partie de ce domaine située à droite de l'axe Oy n'a pas de centre de gravité à distance finie, car .	En rouge, trajectoire du centre de gravité de la portion du domaine entre les droites x=0, et x=a quand a varie de 0 à l'infini. Cette trajectoire est asymptote à la droite y = a/4, si bien qu'on peut considérer que le centre de gravité du domaine complet est le point à l'infini de ctte droite.