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HYPERBOLISME ET ANTIHYPERBOLISME D'UNE COURBE
TRANSFORMATION DE NEWTON
Hyperbolism
and antihyperbolism of a curve, Hyperbolismus und Antihyperbolismus
einer Kurve
Newton's transformation, Newtonsche Transformation
Notion étudiée par Newton. |
équation cartésienne | paramétrisation cartésienne | |
courbe de départ | ||
hyperbolisme par rapport à O et la droite x = a | ||
antihyperbolisme |
![]() |
L'hyperbolisme d'une courbe Analytiquement, la droite (D) étant x
= a, la transformation de |
Pour la transformation inverse : ,
on parle d'antihyperbolisme.
Exemples :
antihyperbolisme | O et (D) (pour la courbe de départ) | O et (D) (pour la courbe d'arrivée) | hyperbolisme |
cercle | O sur le cercle, (D) tangente au cercle opposée à O | O au "milieu" de l'asymptote et (D) tangente sommitale | cubique d'Agnesi |
cercle | O centre du cercle, (D) tangente au cercle | O au centre et (D) tangente sommitale | quartique de Külp |
cercle | (D) perpendiculaire à la droite joignant
O
au centre du cercle
(cas englobant les précédents) |
Oeuf de Granville | |
cercle | O sur le cercle, (D) parallèle au diamètre passant par O | O au centre et (D) passant par les points d'intersection avec le cercle | anguinée |
lemniscate de Gérono
: |
O au centre, (D) tangente à un sommet | O au centre, (D) tangente au cercle | cercle |
quartique piriforme | O au rebroussement, (D) perpendiculaire à l'axe de symétrie | O sur le cercle, (D) parallèle à la tangente au cercle en ce point | cercle |
parabole
divergente rationnelle : |
O au centre, (D) : x = a | O au centre et (D) : x = a | parabole : |
parabole
cubique : |
O et droite x = a | O et droite x = a | trident
: |
visiera : |
O et droite x = a | O et droite x = a | versiera
: |
Si l'on remplace la droite (D) par une courbe quelconque,
on obtient plus généralement la transformation de Newton
:
![]() |
La transformée de Newton d'un couple de
courbes ( On retrouve l'hyperbolisme en prenant pour |
Paramétrisation cartésienne de la transformée
de Newton des courbes |
Exemples :
première courbe (G1) | deuxième courbe (G2) | transformée |
cercle de centre O | cercle de centre O | ellipse (obtenue par "réduction d'ordonnée") |
cercle centré sur Ox passant par O |
cercle de centre O |
courbe en huit |
échange des cercles précédents | arc de parabole | |
cercle centré sur Ox | cercle de centre O | oeuf de Hügelschäffer |
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© Robert FERRÉOL 2009