COURBE ISOTÈLE
Isotel
curve, isotele Kurve
Notion étudiée par Lepiney en 1909.
Du grec iso "même" et têle
"loin". |
La courbe isotèle d'une courbe plane 
par rapport à un point O est le lieu des points situés
à égale distance de O et de ,
autrement dit, la courbe d'équidistance
de et
de
O. Si M0 décrit ,
la courbe isotèle est donc le lieu des points d'intersection de
la médiatrice de [OM0]
avec la normale en M0 et
c'est aussi l'enveloppe de cette médiatrice ; c'est donc aussi le
lieu des centres des cercles passant par O et tangents à
la courbe
; l'isotèle n'est donc enfin autre que la courbe dont la courbe
de départ est l'orthotomique,
autrement dit son "anti-orthotomique".
L'orthotomique étant l'image de la podaire dans
une homothétie de centre O et de rapport 2, l'isotèle
n'est donc autre que l'image de l'antipodaire
dans une homothétie de centre O et de rapport 1/2 ; la notion
est donc tombée en désuétude. |
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Conclusion : à homothétie près, isotèle
= antipodaire = orthocaustique.
Exemples :
- la parabole
est l'isotèle de sa directrice par rapport à son foyer.
- une conique
à centre est l'isotèle du cercle directeur centré
en un foyer par rapport à l'autre foyer.
- la courbe isotèle de l'ellipse
par rapport à son centre est la courbe
de Talbot.
Pour d'autres exemples, on se reportera à l'article
antipodaire.
L'isotèle par rapport à O d'une
courbe
de largeur constante possède une propriété remarquable
découverte par Euler (Nova Acta Eruditorum, 1746) : tout
rayon issu de O réfléchi deux fois par l'isotèle
repasse par O. Euler désigne par catoptrice une courbe
ayant cette propriété.
Le lecteur constatera sur la figure que le rayon issu
de O se réfléchit bien en M suivant MN,
puis en N suivant NO. De plus, comme OM+MN+NO=M0M+MN+NN0=M0N0,
la distance parcourue par le rayon OMNO est constante égale
à la largeur de la courbe de départ. |
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| Le cas de l'isotèle d'un cercle, qui est une ellipse
de foyer O est un cas évident de cette propriété
puisque tout rayon issu d'un foyer se réfléchit en un rayon
passant par l'autre foyer. |
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© Robert FERRÉOL
2020