Notion étudiée par W. Wunderlich en 1951. Voir aussi Erwin Kruppa, Analytische und konstruktive Differentialgeometrie, p. 159.

Les (lignes) pseudo-géodésiques d'une surface sont les courbes tracées sur la surface dont le plan osculateur fait un angle fixé  avec le plan tangent à la surface ; lorsque cet angle est droit, on obtient les géodésiques proprement dites, et lorsqu'il est nul, les asymptotiques.
D'après les formules , ,  (voir les notations), ce sont les courbes dont la courbure normale, ou la courbure géodésique, est proportionnelle à la courbure, ou dont la torsion géodésique est égale à la torsion.
 

Calcul des pseudo-géodésiques dans le cas d'un cylindre vertical (voir les notations). La première courbure principale  est celle de la section horizontale ; l'autre étant nulle, la formule d'Euler s'écrit , où  est l'angle de la courbe avec la verticale ; d'où la courbure géodésique  (1). Or  et  où  est l'angle tangentiel de la section horizontale ; en remplaçant dans (1) on obtient , d'où en prenant  pour ,,  ; or , d'où l'équation générale des pseudo-géodésiques : . Pour un cylindre de révolution, , d'où , voir ci-dessous.

Exemple : les pseudo-géodésiques propres du cylindre de révolution sont les courbes qui se développent en des chaînettes d'axe parallèle à l'axe du cylindre (donc cas particulier de chaînettes généralisées). Équations :
 

Paramétrisation où  est l'angle entre plan osculateur et plan tangent : . Ci-contre, animation pour  décrivant . Voir ici la surface pliée suivant cette courbe.

 
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2018