Équation cartésienne : ,. Quand a = b : hyperboloïde à une nappe de révolution. Quand a = b = c : hyperboloïde à une nappe équilatère. Petit exercice : quel est le type de la quadrique ? Réponse : par changement de repère ON tel que OZ soit la droite x=y=z on tombe sur  Donc un H1 pour , un cône pour , un H2 pour  tous de révolution autour de OZ. Paramétrisations cartésiennes :  a) dont les lignes de coordonnées sont les hyperboles méridiennes et les ellipses orthogonales : , ou bien, ou encore  b) dont les lignes de coordonnées sont l'une des familles de droites et les ellipses précédentes : (  = 1 pour la première famille, –1 pour la deuxième) c) dont les lignes de coordonnées sont les deux familles de droites (qui sont les lignes asymptotiques) :  d) dont les lignes de coordonnées sont les lignes de courbure (a, b, c distincts): avec(voir à système triple orthogonal) Ligne de striction :  avec , intersection avec . (voir [Struik, p 195] ) Courbure de Gauss :  où  est la distance de O au plan tangent au point considéré.  Cône directeur, qui est aussi le cône asymptote : . Volume pour  : .

Cas de l'hyperboloïde équilatère (a = b) . Première forme quadratique fondamentale : . Équation cylindrique : . Courbure de Gauss : . Courbure moyenne : . Aire pour  : .

L'hyperboloïde à une nappe peut être défini comme :
 1) une quadrique;réglée ayant un centre de symétrie.
 2) la réunion des droites rencontrant trois droites 2 à 2 non coplanaires et non parallèles à un plan fixe (lorsqu'elles le sont, on obtient le paraboloïde hyperbolique)
 3) la réunion des droites (MN), les points M et N se déplaçant à vitesse constante sur deux cercles parallèles.

Ici, l'hyperboloïde est la réunion des droites  et 
et également la réunion des droites  et .
Les sections de l'hyperboloïde par les plans verticaux tangents à l'ellipse de gorge sont les couples de droites sécantes de l'une et l'autre famille de droites incluses.
 

Paramétrisation de l'hyperboloïde engendré par les droites joignant un cercle de rayon a à un cercle de rayon b distant de h du premier et tourné d'un angle  par rapport au premier : . Volume du tronc d'hyperboloïde correspondant : .

L'hyperboloïde à une nappe de révolution peut être défini comme la surface de révolution engendrée par une droite non coplanaire avec l'axe de révolution, ou comme la surface de révolution engendrée par la rotation d'une hyperbole autour de son axe non transverse.
 

Vue des lignes de courbure de l'hyperboloïde à une nappe ; ce ne sont des cercles et des hyperboles que dans le cas de l'hyperboloïde de révolution. Sinon, ce sont des biquadratiques.

 

Vue de l'une des deux familles de cercles incluse dans tout H1, même non de révolution.

Voir aussi les hélices de l'hyperboloïde de révolution, ainsi que les courbes de précession constante.

A cause de sa propriété d'être réunion de droites, l'hyperboloïde à une nappe, comme le paraboloïde hyperbolique est très utilisé en architecture.
 

Tours de refroidissement de centrale nucléaire.

Château d'eau à La Roche de Glun dans la Drôme

A Kobé au Japon

 

Voir d'autres belles photos sur la page du mathouriste.
 

Structure formée à partir de 2 polygones réguliers à n côtés et 2n génératrices d'un hyperboloïde de révolution  (joignant 2 milieux de côté de ces polygones) . Les 3n losanges gauches obtenus sont remplis par des génératrices de paraboloïde hyperbolique. (réalisation : Alain Esculier)

 

Sculpture d'Angel DUARTE  (Lausanne, Suisse) utilisant 6 de ces structures.

 

Lorsque deux "espaces solides" ont chacun un mouvement de rotation uniforme d'axes non sécants, les deux lieux des axes instantanés de rotation de leur mouvement relatif dans chacun des espaces (ou "axoïdes") sont deux hyperboloïdes de révolution qui roulent sans glisser l'un sur l'autre (notion équivalente dans l'espace à celle de profils conjugués dans le plan). Ce beau théorème de cinématique est à l'origine des "engrenages hyperboloïdes" dont un exemple est reproduit ci-contre : Voir ce livre, page 144.

 

surface suivante

surface précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2012