Courbe de largeur constante

COURBE AUTO-PARALLÈLE, COURBE DE LARGEUR CONSTANTE
Self-parallel curve, curve of constant width, selbstparallele Kurve, Kurve konstanter Breite (oder Gleichdick)

Courbes étudiées par Euler en 1778 et par Reuleaux en 1875.
Autre nom : (courbe) orbiforme (nom donné par Euler ; orbis = cercle en latin).
Voir cette page d'Alain Esculier pour des explications sur les figures.
Voir aussi cet article de Marc Roux sur les ensembles gonflables.
T. Bayen, J.-B. Hiriart-Urruty : Objets convexes de largeur constante (en 2D) ou d’épaisseur constante (en 3D) : du neuf avec du vieux.

1) Courbes auto-parallèles.

Une courbe auto-parallèle est une courbe connexe parallèle à elle-même (avec une distance non nulle) ; une courbe connexe est auto-parallèle si et seulement si c'est la trajectoire commune aux deux extrémités d'un segment non réduit à un point dont chaque point a un vecteur vitesse orthogonal au segment.

Exemples :
- le cercle est parallèle à lui-même avec une distance de parallélisme égale à son diamètre.
- les développantes d'une courbe fermée sans rebroussement sont auto-parallèles, pour une distance de parallélisme égale à la longueur de la courbe fermée ; l'exemple le plus simple est la développante de cercle :

- considérons une courbe fermée (G) ayant, dans cet ordre, des points de rebroussements , soit la longueur de l'arc et ;

Si n est pair et , les développantes de (G) sont auto-parallèles avec une distance de parallélisme égale à .

Si n est impair et l'abscisse a du point de départ de la développante quand la tangente est en est différente de , les développantes de (G) sont auto-parallèles avec une distance de parallélisme égale à ; ce sont de plus également des courbes fermées.

En particulier les développantes des épi- et hypocycloïdes à nombre impair de rebroussement sont auto-parallèles (sauf une qui est semblable à la courbe de départ) :

Courbe auto-parallèle fermée de développée une cardioïde.
Remarquer le changement d'orientation du segment après un tour.

Développantes de la deltoïde ; seule la développante verte n'est pas auto-parallèle.

Avec un segment de longeur supérieure à celle d'une arche de la deltoïde : la courbe est convexe

Avec un segment de longueur égale : cas limite de courbe convexe ; il y a trois points à courbure infinie.

Avec un segment de longueur inférieure : la courbe possède 6 rebroussements.

Le cas limite du segment de longueur nulle donne la seule développante de la deltoïde qui n'est pas autoparallèle : la deltoïde elle-même :

Avec une épicycloïde à 7 rebroussements :

Est-ce exactement cette courbe qui a été choisie comme contour des pièces de 20 et 50 pence ?
En tout cas certainement une courbe de largeur constante (voir plus loin) car ces pièces doivent fonctionner dans les distributeurs automatiques (quelle que soit leur orientation, elles doivent passer exactement dans une ouverture de diamètre donné) : un heptagone exact aurait posé problème !

Paramétrisation complexe de la développante de l'hypocycloïde pour un segment de longueur égale à une arche : .
Voir aussi au bas de la page sur les hypocycloïdes

2) Courbe de largeur constante.

Etant donné un convexe compact K du plan, on définit sa largeur dans une direction D comme la longueur de la projection orthogonale de K sur D, longueur qui est aussi la plus petite largeur d'une bande orthogonale à D et contenant K, ou, ce qui revient au même, la distance entre deux droites d'appui orthogonales à D du convexe K.

Le convexe K est alors dit "de largeur constante" si cette largeur ne dépend pas de la direction D et une courbe est dite "de largeur constante" si elle est la frontière d'un convexe compact de largeur constante. Une autre façon de définir le fait que K soit de largeur constante est qu'on puisse le faire tourner continuement d'un demi-tour à l'intérieur d'une bande fermée de sorte que les deux bords de la bande restent constamment en contact avec K (voir les animations ci-dessus).

On a alors les équivalences remarquables suivantes pour définir un convexe compact de largeur constante :

1) K est convexe compact et toute projection de K sur une droite a pour longueur d.
2) K est convexe compact et la borne inférieure des largeurs des bandes fermées de direction donnée contenant K est d.
3) K est convexe compact et deux droites d'appui distinctes parallèles sont distantes de d.
4) K est convexe compact de diamètre d et deux droites d'appui distinctes parallèles D₁ et D₂ sont toujours telles qu'il existe A₁ de KÇD₁ et A₂ de KÇD₂ avec (A₁ A₂) orthogonale à D₁.
5) K est convexe compact et la borne supérieure des longueurs des
segments de direction donnée inclus dans K est d.
6) K est convexe de diamètre d et il existe toujours un segment de
direction donnée et de longueur d inclus dans X.
7) K est convexe et l'ensemble des vecteurs où M₁ et M₂sont deux points de K est un disque fermé de diamètre d du plan vectoriel.
8) K est de diamètre d et est maximal pour l'inclusion parmi les parties de diamètre d.

Le lien avec le 1) vient de ce que toute courbe auto-parallèle (avec une distance de parallélisme d) convexe (i.e. frontière d'un convexe compact) est une courbe de largeur constante d ; voir donc les exemples donnés ci-dessus.

Le premier exemple de courbe de largeur constante non circulaire qui ait été découvert est le triangle de Reuleaux, ou orbiforme équilatérale : formé de trois arcs de cercles centrés aux sommets d'un triangle équilatéral (courbe continue, mais avec trois points anguleux, au contraire des exemples ci-dessus), exemple que l'on peut généraliser à un polygone régulier quelconque.
Voir aussi un exemple formé à partir de la toroïde.

Les courbes de largeur constante égale à d ont toutes même longueur, égale à pd (théorème de Barbier), et l'aire du domaine entouré est minimale dans le cas du triangle de Reuleaux - minimum égal à (théorème de Blaschke-Lebesgue), maximale dans le cas du cercle - maximum égal à ... je suis sûr que vous savez !
Toute partie bornée du plan est incluse dans un convexe de largeur constante égale à la largeur de l'ensemble de départ.

Voir aussi les surfaces de largeur constante, ainsi que la belle propriété de l'isotèle d'une courbe de largeur constante.

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Avec un segment de longeur supérieure à celle d'une arche de la deltoïde : la courbe est convexe
Avec un segment de longueur égale : cas limite de courbe convexe ; il y a trois points à courbure infinie.
Avec un segment de longueur inférieure : la courbe possède 6 rebroussements. Le cas limite du segment de longueur nulle donne la seule développante de la deltoïde qui n'est pas autoparallèle : la deltoïde elle-même :

Avec une épicycloïde à 7 rebroussements :
Est-ce exactement cette courbe qui a été choisie comme contour des pièces de 20 et 50 pence ? En tout cas certainement une courbe de largeur constante (voir plus loin) car ces pièces doivent fonctionner dans les distributeurs automatiques (quelle que soit leur orientation, elles doivent passer exactement dans une ouverture de diamètre donné) : un heptagone exact aurait posé problème !