Le plan fixe étant xOy , condition différentielle :
soit en coordonnées cartésiennes :
Paramétrisation cartésienne connaissant la base de l'hélice, de paramétrisation  :
Rayons de courbure et de torsion,  étant le rayon de courbure de la base :	et
Equation différentielle des hélices tracées sur la surface , avec les notations de Monge :
Équation cylindrique des hélices tracées sur la surface de révolution   :

Les hélices sont les courbes dont les tangentes font un angle constant a avec un plan fixe (P₀), ou avec une direction fixe d (orthogonale à (P₀)).
La notion d'hélice en mathématiques a donc plus de rapport avec une route de montagne de pente constante qu'avec une hélice de bateau !
Concrètement, on obtient une hélice mathématique en découpant dans du carton un triangle rectangle  que l'on fait tenir verticalement sur un plan puis que l'on déforme : l'hypothénuse prend une forme d'hélice.

Conditions nécessaires pour qu'une courbe soit une hélice :
 - courbe dont l'indicatrice sphérique de courbure est plane (donc incluse dans un cercle).
 - courbe dont les normales principales restent parallèles à un plan fixe (égal à (P₀)).
 - courbe dont les binormales font un angle constant avec une direction fixe (la même que les tangentes).
 - courbe dont l'indicatrice sphérique de torsion est plane (donc incluse dans un cercle).
 - courbe dont la torsion est proportionnelle à la courbure (théorème de Lancret).
 - trajectoire d'un mouvement dont les vecteurs dérivés second, troisième et quatrième sont coplanaires.
 - géodésique d'un cylindre (le cylindre engendré par les parallèles à d) - autrement dit, si l'on développe le cylindre sur lequel l’hélice est tracée, l'hélice devient une droite.

Une hélice est entièrement définie par la donnée de sa projection dans (P₀) (sa base) et l'angle a.

Exemples (on notera que les hélices sont désignées soit par rapport à leur base, soit par rapport à la surface sur laquelle elles sont tracées) :
    - la droite (les droites d'une surface sont donc des hélices de cette surface)
    - l'hélice circulaire (base = cercle)
    - l'hélice conique (tracée sur un cône de révolution vertical, base = spirale logarithmique)
    - l'hélice elliptique (base = ellipse)
    - l'hélice sphérique (tracée sur la sphère, base = épicycloïde)
    - l'hélice du paraboloïde (tracée sur le paraboloïde, base = développante de cercle)
    - l'hélice du H1 (tracée sur l'hyperboloïde à une nappe)
    - La ligne de striction du berlingot
 

- l'hélice caténoïdique (base = chaînette ) : () ; elle est tracée sur le cylindre hyperbolique  , ainsi que sur la surface , qui est de révolution pour a = b. Courbe étudié par Catalan en 1878. L'hélice caténoïdique est la génératrice de l'hélicoïde minimal.

 

- l'hélice torique (tracée sur le tore, le plan de référence étant orthogonal à l'axe du tore) :

Hélice de pente 1 du tore

 

Exemple de détermination des hélices d'une surface : celles de  l'hyperboloïde de révolution : x² + y² = z² +1, paramétré par x = ch u cos v, y = ch u sin v, z = sh u. On écrit que dz/ds = tan a,  soit dx² +dy² = dz² cot² a, soit ici :  sh² u du² +ch²u dv² = ch² u cot² a du² soit    racine(cot²a - th² u) du = dv, d'où l'on tire v en fonction de u : . Pour a = pi/4 on retrouve les droites incluses. Ci-contre ont été tracées les hélices pour cot a = 2, voir la page correspondante.

Voir aussi les surfaces d'égale pente.

Ont été définies d'autres type d'hélices, comme par exemple les "slant helices" qui sont les courbes dont la normale principale (et non la tangente) fait un angle constant avec un plan (ou une direction) fixe, voir cet article, et celui-ci.
 
 

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