Cube adouci

CUBE ADOUCI
Snub cube, abgeschrägter Würfel

Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite)

Programme Maple de tracé.

Autre nom : cube camus.

Famille

polyèdre semi-régulier ou polyèdre d'Archimède

Historique

solide connu d'Archimède (IIIe s. av. J.C.)

Autre nom

cube camus

Dual

icositétraèdre pentagonal

Faces

32 triangles et 6 carrés

Sommets

24 sommets de degré 5, de code de Schläfli 3⁴.4

Arêtes

60 arêtes de longueur a ;
angle dièdre entre un carré et un triangle

entre deux triangles :

, où t est la constante de Tribonacci, unique racine réelle de

.
Remarque : le cube adouci n'est donc pas constructible à la rêgle et au compas.

Patron et graphe

(

Diamètres

sphère inscrite dans les carrés :

; dans les triangles :

intersphère (tangente aux arêtes) :

; sphère circonscrite :

Mensurations

volume :

aire :

coefficient isopérimétrique :

Coordonnées des sommets

Permutations paires de

avec un nombre pair de signes +, et permutations impaires de

avec un nombre impair de signes +. En prenant les permutations paires avec un nombre impair de signes plus, et les permutations impaires avec un nombre pair de signes plus, on obtient l'image miroir.

Construction

adoucissement du cube ou de l'octaèdre

Les carrés jaunes sont obtenus à partir d'une face du cube par similitude directe de rapport

et d'angle

où r est l'unique racine réelle de

et t est la constante de Tribonacci, définie ci-dessus.
Voir sur cette page une excellente animation de la construction.
Remarquons qu'on passe du rhombicuboctaèdre au cube adouci en "partageant" les carrés verts en deux triangles :

Plans de symétrie

Aucun ; le cube adouci est donc "chiral" : voir les 2 versions ci-dessus.

Axes de rotation

3 axes passant par les centres de 2 carrés opposés (2 rotations d'ordre 4 par axe et une d'ordre 2)
4 axes passant par les centres de 2 triangles opposés (2 rotations d'ordre 3 par axe)
6 axes passant par 2 milieux d'arêtes opposés (1 rotations d'ordre 2 par axe)

Groupe des isométries

= groupe des rotations du cube ou de l'octaèdre (pas d'isométrie négative).

Remarque

Contrairement à ce qui se passe pour les polyèdres semi-réguliers non "adoucis", le groupe des isométrie n'agit pas transitivement sur les faces de même type.

Le problème des dictateurs ennemis consiste à se demander comment sont disposées sur une sphère n calottes sphériques identiques (les empires de chaque dictateur) de taille maximale et ne se chevauchant pas.
Dans le cas n = 24, il a été démontré que la réponse optimale consiste à disposer les dictateurs aux sommets d'un cube adouci.
Sources : Marcel Berger, Pour la Science n° 176, p. 72 et Dossier Pour la Science n° 41 p. 40.

Voir aussi le dodécaèdre adouci.

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