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DÉVELOPPANTE DE CERCLE
Circle
involute, Kreisevolvente
Autre nom : anti-clothoïde. |
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Paramétrisation cartésienne : Paramétrisation complexe : Paramétrisation polaire : Équation polaire : Angle tangentiel cartésien : Abscisse curviligne : Rayon de courbure : Équation intrinsèque 1 : Équation intrinsèque 2 : Équation podaire : Equation différentielle cartésienne : |
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Aire balayée par la tangente pour t allant
de 0 à |
La définition de cette courbe tient dans son nom
(voir à développante)
!
La développante de cercle est donc la courbe dont
les normales restent tangentes à un cercle fixe.
Plus concrètement, c’est la courbe que trace une main déroulant une bobine de fil tenue dans l'autre main. |
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Inversement, si l'on fait tourner une développante de cercle autour du centre du cercle générateur, chaque tangente au cercle reste constamment normale à la développante. | ![]() |
Pour t grand, la développante de cercle
est asymptote à la spirale
d'Archimède d'équation |
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Cette dernière propriété a pour conséquence la suivante : si l'on fait tourner une développante de cercle uniformément autour de son centre, les tangentes à la développante ayant une direction donnée se déplacent en un mouvement de translation uniforme : c'est la raison pour laquelle les cames ont des profils de développante de cercle : |
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La développante de cercle possède aussi
une définition cinématique, due aux relations :
: c’est la courbe qui, parcourue d’un mouvement uniformément varié,
est telle que la vitesse de rotation de la tangente
est constante (d'où son nom d'anti-clothoïde : car la
clothoïde,
elle, est la courbe qui, parcourue d’un mouvement uniforme, est telle que
la vitesse de rotation de la tangente
est linéaire).
Autre définition cinématique :
Une personne P marche sur un plateau tournant à vitesse constante Inversement, la trace d'une bille roulant librement sur le plateau (ayant donc un mouvement rectiligne uniforme dans le repère fixe) est une telle courbe. |
![]() Cas k = 1 : développante de cercle. |
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Comme toute famille de développantes d'une même
courbe, les développantes d'un même cercle sont parallèles
entre elles (la développante de cercle est d'ailleurs la seule courbe
isométrique à ses parallèles).
Plus précisément l'image par une rotation
d'angle |
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Si l'on prend en particulier Ceci a pour conséquence que si on translate une
développante de cercle de |
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Ceci a été appliqué à la
fabrication d'engrenages (formés ici chacun de trois portions de
développantes de cercles) dits engrenages paradoxaux, car tournant
dans le même sens.
Bien suivre les points de contact sur les lignes noires. |
![]() Animation réalisée par J. Lefort |
Faisons maintenant subir à la développante
translatée une symétrie par rapport à la normale commune
; les deux développantes restent toujours en contact, mais tournent
cette fois en sens contraire.
Remarque : Le contact se fait avec glissement (le point de contact n'est pas sur la droite joignant les deux centres de rotation) mais suffisamment léger pour ne pas poser de problèmes d'échauffement en pratique. Ce ne sont donc pas deux profils conjugués. |
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Les mêmes engrenages que ci-dessus placés cette fois de part et d'autre de la droite tournent donc en sens inverse l'un de l'autre. |
![]() Animation réalisée par J. Lefort |
Autre cas particulier de courbe parallèle : la
développante symétrique par rapport au centre du cercle est
parallèle à la courbe de départ avec une distance |
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Par dualité
à partir de la propriété précédente,
on obtient alors la propriété suivante : considérons
une développante de cercle de rayon a et de centre O
; si l'on fait effectuer à cette développante (en rouge ci-dessous)
un mouvement de translation de sorte que son centre décrive un cercle
de centre
O
et de rayon Conseil : suivre des yeux un point de tangence. |
Cette propriété découverte par Léon
Creux (cf. brevet
en 1905 et article
en 1911) est utilisée dans la fabrication des compresseurs de
gaz dits compresseurs
à spirale, ou compresseurs scroll.
La famille des spirales mobiles est définie par |
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Animation montrant l'utilisation de développantes de cercle dans des engrenages classiques. Les développantes restent en contact sur une tangente commune aux deux cercles. |
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La section de l'hélicoïde développable par un plan perpendiculaire à l'axe est une développante de cercle.
La projection d'une hélice du paraboloïde de révolution est une développante de cercle.
La développante de cercle est une sectrice et une quadratrice.
Son inverse par rapport à son centre est la spirale tractrice, et son antipodaire est la caustique inverse de cercle.
Ses développantes sont les courbes dont le rayon de courbure est égal à la distance à O, plus une constante, l'une d'entre elles étant la spirale de Norwich.
Les demi-développantes d'un cercle donné forment un système
double orthogonal avec les demi-tangentes au cercle
Engrenages en développantes de cercles réalisés par Vincent Viton.
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© Robert FERRÉOL 2022