LIGNE DE STRICTION D'UNE SURFACE RÉGLÉE
NON DÉVELOPPABLE
Striction
line of a ruled surface, Kehllinie einer Regelfläche
La ligne de striction d'une surface
réglée non développable
est le lieu des points centraux (ou points de striction)
de chaque génératrice non parabolique de la surface ; ces
points sont
- les points où le plan tangent
est perpendiculaire au plan asymptotique (c'est à dire la limite
du plan tangent lorsqu'il va à l'infini le long de la génératrice),
ou ,
- les points où la valeur absolue
de la courbure totale le long d'une génératrice admet un
maximum (cf. la formule de Lamarle ci-dessus), ou encore
- les points limites de la perpendiculaire
commune à la génératrice et à une autre génératrice
qui tend vers elle.
Cette dernière définition fonctionne aussi
dans le cas où la surface est développable, et la ligne obtenue
n'est alors autre que l'arête de rebroussement
de cette surface.
La ligne de striction n'est pas forcément orthogonale
aux génératrices (la condition est l'orthogonalité
de M1' et a', pas
de M1' et a) ; par
contre, elle contient les points (localement ?) singuliers de la surface.
Lorsque la surface est réglée à
plan directeur, la projection de la ligne de striction sur le plan
directeur est l'enveloppe des projections des génératrices.
Exemples :
- la ligne de striction d'un conoïde
est son axe dans le cas droit, mais pas forcément dans le cas oblique.
- la ligne de striction d'un hyperboloïde
à une nappe est son cercle de gorge lorsqu'il est de révolution,
mais pas dans le cas général.
- la ligne de striction d'un hélicoïde
réglé est son hélice de gorge.
- la ligne de striction du paraboloïde
hyperbolique.
- la ligne de striction de la surface
de Möbius
- la ligne de striction du berlingot
Quelques illustrations de ces notions, par Robert March
Références
: (Mir p.64, 67) (Deltheil p.251) (Bouasse p. 514)
© Robert FERRÉOL
, Robert MARCH 2022
,
pour la surface réglée
représentée par 
;
( 
) , la
formule se simplifie en 
et alors M1 décrit la ligne
de striction ssi 
.
s'interprète géométriquement par la formule 
,
où 
est l'angle entre le plan tangent en C et le plan tangent en M
(loi
de Chasles) ; de façon équivalente, la surface engendrée
par les normales le long de la génératrice est un paraboloïde
hyperbolique équilatère d'équation cylindrique 
dans un repère Cxyz, Cz étant la génératrice.
.
