Les sextiques rationnelles sont les sextiques de genre nul, ayant donc entre un et dix points singuliers faisant diminuer le genre de 10 (dans le plan projectif complexe).
 
 

Paramétrisation cartésienne :  où P, Q et R sont trois polynômes à coefficients réels dont le maximum des degré est 6. En remplaçant t par , on obtient une paramétrisation trigonométrique : .

La plupart des sextiques rationnelles remarquables font partie de la famille des courbes rationnelles de dégré £ 6,  bornées, et d'axe de symétrie Oy, de paramétrisation  , comme on le constatera ci-après.

Exemples de sextiques rationnelles :
    - le quadrifolium et ses conchoïdes :  (a = 0 : quadrifolium, a = 1 : trisectrice de Ceva , a = 2 : oeuf double : a > 2 : cacahuète)
     - le folium de Dürer  et ses conchoïdes :  (a = 0 : folium de Dürer,  a = 1 : néphroïde de Freeth )
     - les épitrochoïdes de paramètre q = 2:   (a = 1 : folium de Dürer  , a = 3 :  néphroïde).
    - les hypotrochoïdes de paramètre q = 4:  (a = 1 : quadrifolium , a = 3 : astroïde ).
    - les épitrochoïdes de paramètre q = 1/2: .
    - les hypotrochoïdes de paramètre q = 5/2 (étoiles à 5 branches) :  .
    - la cornoïde : 
    - la croix de Malte : 
    - La double goutte d'eau : 
    - la sextique de Cayley : 
    - la courbe de Lissajous : 
    - le moulin à vent : 
    - le noeud de papillon : 
    - les scarabées : (dont le quadrifolium : )
    - les courbes de Talbot : .
 
 

Ïci, une vue animée de la sous-famille à un paramètre :  Par ordre d'apparition :  l'oeuf double le folium de Durer courbe ressemblant à la cornoïde le quadrifolium la croix de Malte la double goutte d'eau .

Autres exemples :
 

Une jolie sextique avec un point triple à tangentes confondues :
Une autre, qui est indécomposable, et semble pourtant se décomposer en un cercle et un huit : .

 
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2006