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SEXTIQUE RATIONNELLE
Rational sextic, rationale Sextik

Les sextiques rationnelles sont les sextiques de genre nul, ayant donc entre un et dix points singuliers faisant diminuer le genre de 10 (dans le plan projectif complexe).
 
 
Paramétrisation cartésienne : P, Q et R sont trois polynômes à coefficients réels dont le maximum des degré est 6.
En remplaçant t par , on obtient une paramétrisation trigonométrique : .

La plupart des sextiques rationnelles remarquables font partie de la famille des courbes rationnelles de degré £ 6,  bornées, et d'axe de symétrie Oy, de paramétrisation  , comme on le constatera ci-après.

Exemples de sextiques rationnelles :
    - le quadrifolium et ses conchoïdes (a = 0 : quadrifolium, a = 1 : trisectrice de Ceva , a = 2 : oeuf double : a > 2 : cacahuète)
     - le folium de Dürer  et ses conchoïdes (a = 0 : folium de Dürer,  a = 1 : néphroïde de Freeth )
     - les épitrochoïdes de paramètre q = 2:   (a = 1 : folium de Dürer  , a = 3 :  néphroïde).
    - les hypotrochoïdes de paramètre q = 4:  (a = 1 : quadrifolium , a = 3 : astroïde ).
    - les épitrochoïdes de paramètre q = 1/2: .
    - les hypotrochoïdes de paramètre q = 5/2 (étoiles à 5 branches) :  .
    - la cornoïde : 
    - la croix de Malte
    - La double goutte d'eau
    - la sextique de Cayley
    - la courbe de Lissajous
    - le moulin à vent
    - le noeud de papillon
    - les scarabées(dont le quadrifolium)
    - les courbes de Talbot.
 
 
Ici, une vue animée de la sous-famille à un paramètre : 
Par ordre d'apparition : 
a = 0 : quadrifolium
a = pi/4 :  croix de Malte
a= pi/2 : double goutte d'eau
a = 3pi/4 : oeuf double
a = pi-arctan(1/2) : folium de Dürer
a= pi-arctan(1/3) : courbe ressemblant à la cornoïde
Ces courbes sont les projections sur les plans contenant Oy de la courbe gauche : 

Autres exemples :
 
Une jolie sextique avec un point triple à tangentes confondues, faisant partie des vasques
Une autre, qui est indécomposable, et semble pourtant se décomposer en un cercle et un huit : .
Cette troisième semble elle aussi se décomposer, en un cercle et une cardioïde :
.
Cette courbe est associée aux triangles dont une hauteur, une médiane et une bissectrice sont concourantes (triangles considérés par E. LEMOINE en 1885 dans mathesis) :  si l'on fixe le sommet de la hauteur en (0,1) et le sommet de la médiane en (0,0), cette courbe est le lieu du troisième sommet d'un tel triangle.
Le lieu du point de concours est une septique.

 
 
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© Robert FERRÉOL  2011