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ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES


Prix Anatole Decerf 2008
Nouveautés :
Baderne d'Apollonius
Surface de Morin
Surface à symétrie de rotation
Quartique de Salmon
Spirale doppler
Surface de Néovius
Surface de Costa
Surface retournable
Trinoïde
 Un exemple pour voir : 

Ce site sur les formes mathématiques est issu d'un petit résumé commencé en 1993, destiné à des élèves de math sup désireux d’avoir un récapitulatif des courbes classiques dont quelques exemples parsemaient mon cours.

Ce résumé a commencé à prendre du volume, et j’ai pensé que bien que le sujet ne soit pas particulièrement à la mode, il pourrait intéresser, d'où ce site.
Les courbes et les surfaces m'ont fait découvrir pas mal de trésors connus de nos prédécesseurs et que nous avons tendance à oublier. J'ai même eu l'impression que les anciens avaient une vue beaucoup plus abstraite et générale de ces objets que celle que nous avons aujourd'hui.
Une note plus contemporaine est donnée par les fractals qui auraient certainement enthousiasmé les anciens.

Je remercie dans cette entreprise :

     - Alain ESCULIER, qui me donne de judicieux conseils pour la réalisation des animations, et réalise toutes les figures de qualité utilisant le logiciel povray.

    - Pierre LAMBERT, ancien professeur au lycée de Montmorency, qui profite de sa retraite pour mettre au clair toute cette vieille géométrie qu'il est encore l'un des rares à maîtriser parfaitement (mais aussi les maths "de maintenant"). Je lui dois pas mal de propriétés présentées ici, mais il est en train de rédiger des notes plus complètes que j'espère qu'il pourra publier.

    - Jacques MANDONNET, mon professeur en terminale et actuel collègue en prépa, qui a fait beaucoup de figures et animations et m'a donné de nombreux conseils en informatique.

    - Jacques BOUTELOUP, qui m'a bien mis au point sur la notion de courbe algébrique.

    - François RIDEAU, qui m'a prêté de nombreux livres rares et anciens qu'il conserve amoureusement, dont le Gomes Teixeira.

    - Robert MARCH, enseignant à l’École d’Architecture Paris-Val-de-Seine, qui a réalisé certaines des illustrations et m'a donné de très bonnes idées.

    - Mon cousin par alliance Christoph SOLAND, et Jean-Claude CHASTANG, tous deux fans d'ovales de Descartes, l'un en Suisse, l'autre aux États-Unis.

Et je remercie WORD, NETSCAPE COMPOSER, MAPLE, et ILLUSTRATOR, qui m'ont permis de réaliser quelque chose que je n'aurais même pas imaginé en 93.
 
 

MODE D'EMPLOI

Les fiches sont regroupées en 5 thèmes : les courbes 2D, les courbes 3D (ce qui fait plus "in" que courbe plane et courbe gauche...), les surfaces, les fractals et les polyèdres.
 

Chaque fiche commence par l'intitulé de la forme que l'on va décrire.

Certaines formes qui m'ont paru devoir figurer dans ce répertoire n'avaient pas de nom reconnu, du moins en français. J'ai donc usé d'un droit de baptême, et si vous n'êtes pas d'accord, faites le moi savoir !

Il s'agit par exemple de : AFC, boite à œufs, bouche, courbe de la crêpe , courbe de filaturecourbe du nageur, poisson, serpentine droite, courbe solénoïdale, talus, torpille.

L’intitulé est toujours écrit au singulier, mais dans le corps de l’article, doit-on parler de la forme au singulier ou au pluriel ? Quand ses divers représentants sont tous semblables (dans un sens que nous allons essayer de définir), on a tendance de parler de cette forme au singulier : la parabole, l’ellipse, l’ellipsoïde etc. Dans le cas contraire, on en parle plutôt au pluriel : les coniques, les ovales de Descartes.

Quel sens donner alors au mot semblable ? Pas son sens mathématique, puisque, si les paraboles sont toutes semblables entre elles au sens mathématique, ce n’est pas le cas des ellipses. J'ai donc étendu le sens de semblable à " image par une transformation affine ". Avec cette définition, j'ai été obligé de parler des strophoïdes obliques par exemple, bien qu’elles aient toutes un peu la même tête, mais je dis la strophoïde droite...

J'ai eu aussi quelques problèmes avec le genre des noms de courbes et surfaces en " oïde " (du grec eidos : apparence), qui change suivant les auteurs. Je n'ai pas fait d’exception à la règle générale qui semble se dégager : féminin pour une courbe (une deltoïde, une ovoïde), masculin pour une surface (un caténoïde (bien que le Larousse le donne féminin), un onduloïde, un ovoïde).

Sont indiqués ensuite les mathématiciens qui ont étudié l’objet, avec la date correspondante. N’étant pas spécialiste d’histoire des mathématiques, je me suis contenté de transcrire les informations des diverses sources, en particulier de [YATES] ; signalez-moi les erreurs, svp.

Suit une étymologie succincte de l’intitulé. J'ai indiqué l’origine de la plupart de ses composants sauf celles qui semblent évidentes. Je n'ai par exemple pas dit que le mot cercle vient de circulum qui signifie cercle, ni répété qu’oïde signifie : en forme de.

Dans la suite, plus mathématique, j'ai essayé de concilier la rigueur moderne, avec l’élégance et la concision des expressions de la géométrie traditionnelle. Par exemple, je parle du " lieu du point M astreint à telle condition" et non pas de " l’ensemble des points M ... ". Et je parle de l’équation cartésienne (ou polaire) bien qu’il n’y en ait pas qu’une.
D'autre part, le cadre géométrique est la géométrie affine réelle. Mais lorsqu'on parle de point à l'infini, ou de point complexe, on considére le prolongement dans le complété projectif réel ou complexe. Cependant, distinguer les courbes de , de, de  et de conduit à des lourdeurs inacceptables.

En encadré j'indique donc tout d’abord la carte d’identité de la forme, ou, pour être plus exact, d’un modèle de la forme. La définition générale qui suit donnera précisément l’ensemble de tous les objets qui ont pour nom celui de l’intitulé, mais dans la carte d’identité, n’est décrit qu’un sous-ensemble représentatif, associé au repère considéré ; autrement dit, ce que j'annonce comme équation cartésienne n'est en général que l'équation cartésienne réduite. Par exemple pour les cercles, je prends les cercles de centre O et de rayon R. Tous les objets de l’ensemble doivent être semblables (au sens mathématique) à l’un des objets du sous-ensemble. Mais je ne suis pas allé jusqu’à mettre dans la carte d’identité du cercle, uniquement le cercle de centre O et de rayon 1, car j'ai veillé à écrire des équations homogènes par rapport aux longueurs.

Dans les équations apparaissent donc en général un facteur d’échelle, presque toujours appelé a, puis des constantes appelées en général b, c si ce sont des longueurs. Elles sont supposées non nulles et très souvent positives.

La première équation est celle qui est la plus classique, et non forcément l’équation cartésienne. Suivent d’autres équations, et, dans le cas des courbes, un calcul de l’abscisse curviligne et du rayon de courbure, éventuellement des calculs de longueurs et d’aires.

Après l’encadré carte d’identité, vient la définition la plus usitée de l’objet ; elle est énoncée de façon générale, mais le lien est fait avec le cas particulier (qui représente en fait la généralité) de l’encadré. Lorsque j'emploie l’expression " ici ", je me réfère à ce cas particulier.

Suivent alors d’autres caractérisations qui constituent autant de propriétés de l’objet, et parfois d’autres propriétés si elles sont classiques. Lorsque l’objet a été défini moins pour lui-même que pour illustrer une propriété, j'allège la partie équations et définitions pour insister sur cette propriété.

 J'ai enfin essayé de répertorier l'appartenance de la forme aux diverses familles définies dans d'autres fiches, et parfois découvert ainsi des liens inhabituels : les besaces dans les courbes de Lissajous, les coniques dans les anticaustiques, les courbes de Booth dans les courbes de Watt par exemple !

Bonne lecture et vos commentaires, encouragements et critiques sont les bienvenus !
 
 
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