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COUPLE ROUE-ROUTE
Wheel
road couple, Rad-Weg Paar
Notion étudiée par Gregory en 1668, Steiner
en 1846 et Habich en 1881.
Voir cette page d'Alain Esculier, pour la totalité des animations qu'il a réalisées, dont seule une partie se trouve ici. |
Deux courbes
et
forment
un couple roue-route si l'on peut faire rouler sans glisser
sur
de
sorte qu'un point fixe du plan de
(le moyeu de la roue) ait une trajectoire rectiligne dans le plan
fixe. Il s'agit donc d'un mouvement plan sur
plan dont la base est
,
la roulante
et dont une roulette est rectiligne.
Les courbes
et
peuvent
aussi être considérées comme deux profils
conjugués d'engrenages, le moyeu de
étant situé à l'infini (considérer le mouvement
dans un repère lié au moyeu de la roue).
Si la roue Partant d'une roue Partant inversement d'une route Si la roue est donnée par son équation podaire : |
Cette notion a été initialement étudiée
non pour une utilisation pratique de roues non circulaires, mais parce
que les calculs de l'abscisse curviligne sont les mêmes pour les
deux courbes (pour la route, en coordonnées cartésiennes,
et pour la roue, en coordonnées polaires) et que donc la rectification
de l'une donne celle de l'autre.
Il existe 2 théorèmes fournissant une définition
géométrique de la route à partir de la roue.
1) Théorème de Steiner-Habich :
la route est la roulette à base rectiligne de l'antipodaire de la roue ; plus précisément, si l'on fait rouler l'antipodaire Autrement dit : étant donné une courbe |
![]() Lorsque (C) roule sur (D), un point M du plan de (C) décrit une roulette (R) dans le plan fixe. La podaire (P) de (C) par rapport à M coupe (D) au projeté M' de M sur (D) ; on montre alors que la courbe (P') symétrique de (P) par rapport à la médiatrice de [MM'] roule sans glisser sur la courbe (R), ce qui établit le théorème de Habich, puisque M' décrit (D). |
2) Théorème de Mannheim :
Etant donné une courbe
et un point, la radiale de cette
courbe par rapport au point et sa courbe
de Mannheim forment un couple roue-route.
Exemples :
Si la roue est circulaire avec un moyeu centré,
la route est une droite parallèle à la trajectoire du moyeu
et c'est le seul cas où ceci ce produit, mais il n'y a pas que ce
cas bien connu !
Avec une roue circulaire, mais un moyeu situé
sur le bord, la route est circulaire ; on retrouve le dispositif
de La Hire.
La courbe |
![]() |
Avec une roue circulaire et un moyeu quelconque, la courbe |
|
Si la roue est rectiligne (= cercle de rayon infini),
la courbe La courbe |
![]() |
Le cas d'une route rectiligne mais non parallèle
à la trajectoire du moyeu donne une roue en spirale
logarithmique : C'est cette propriété qui est à la
base des coinceurs
à came pour l'escalade.
Elle permettrait aussi d'imaginer des véhicules à roues formées de portions de spirales logarithmiques roulant sur des routes en dent de scie. |
![]() ![]() |
Si la roue est une spirale
d'Archimède et le moyeu en son centre, la route est une parabole
: Les courbes |
![]() |
Si la roue est une spirale de Fermat et le moyeu en son
centre, la route est une parabole
cubique : |
![]() |
Si la roue est une spirale
hyperbolique et le moyeu en son centre, la route est une logarithmique
: |
![]() |
Si la roue est une ellipse et le moyeu situé en
un foyer, la route est une sinusoïde : Regarder aussi la roulette de Delaunay. |
![]() |
Si la roue est une ellipse et le moyeu situé au
centre, le couple roue-route est :
En utilisant la fonction elliptique de Jacobi dn (JacobiDN en maple), l'équation de la route est : La courbe Regarder aussi la roulette de Sturm. |
![]() |
Si la roue est une parabole, et le moyeu en son foyer,
la route est aussi une parabole !
La courbe |
![]() ![]() |
Si la roue est une campyle
d'Eudoxe, et le moyeu en son centre, la route est encore une parabole
:
La courbe |
![]() |
Si la roue est une cardioïde
et le moyeu situé au point de rebroussement, la route est une cycloïde
: La courbe |
![]() Notons que les pointes de la cycloïde doivent être légèrement rognées car sinon elles rentrent dans les roues au passage du point de rebroussement. |
Si la roue est une spirale
tractrice, le moyeu situé au pôle, la route est une tractrice
: La courbe |
![]() |
Si la roue est une rosace
et le moyeu situé au pôle, la route est elliptique Les courbes Dans le cas d'une roue en conchoïde
de rosace, la route est une trochoïde ayant subi une affinité.
|
![]() Cas n = 2 |
Si la route est circulaire, et que le moyeu décrit
une tangente au cercle, la roue est une spirale
de Norwich inverse.
(Rappelons que si le moyeu décrit un diamètre du cercle, la roue est circulaire !) |
![]() |
Si la roue est une spirale
sinusoïdale de paramètre n, la route est une courbe
de Ribaucourt de paramètre 1/n, et la courbe
une spirale sinusoïdale de paramètre n/(1 – n).
On retrouve plusieurs exemples donnés ci-dessus
:
n | roue | route | (G) |
-1/2 | parabole | parabole | cubique de Tschirnhausen |
-1 | droite | chaînette | parabole |
1/2 | cardioïde | cycloïde | cercle |
2 | lemniscate de Bernoulli | roulette de Sturm équilatère | hyperbole équilatère |
Voir aussi les roues associées à une cubique de Tschirnhausen et plus généralement, les roues associées aux courbes de poursuite.
Comparer avec les
roulettes à base rectiligne.
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