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POLYÈDRE CONVEXE À FACES RÉGULIÈRES,
POLYÈDRE DE JOHNSON
Convex polyhedron with regular faces, Johnson polyhedron,
Konvexes Polyeder mit regulären Seiten, johnsonsches Polyeder


Polyèdres étudiés par Johnson en 1966 et Zalgaller en 1967.
Voir aussi :
mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html
www.ac-noumea.nc/maths/polyhedr/p_Johnson.htm
www.georgehart.com/virtual-polyhedra/johnson-index.html
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Un polyèdre convexe à faces régulières (en abrégé : CFR) est, comme son nom l'indique, un polyèdre convexe dont toutes les faces sont des polygones réguliers.

Hormis les polyèdres semi-réguliers, il n'existe qu'un nombre fini de polyèdres CFR, appelés polyèdres de Johnson. Ce n'est qu'en 1967 que la liste exacte de ces polyèdres, au nombre de 92, a été établie et démontrée, avec une désignation du type Jk (k = 1..92) et une nomenclature permettant de retrouver leur construction. Seuls 17 de ces 92 polyèdres (notés S1 à S17 ci-dessous -S comme "Simple") ne sont pas somme de polyèdres CFR strictement plus petits.

Voici la liste de tous les polyèdres CFR (les noms indiqués sont les traductions des noms anglais donnés par Zalgaller, suivies d'autres appellations françaises, certaines dues à Guy Valette):

1) Une infinité de prismes à faces régulières P3, P4 (= le cube),P5, .... qui sont semi-réguliers.

2) Une infinité d'antiprismes à faces régulières A3(= l'octaèdre), A4, ....qui sont semi-réguliers.

3) Les 3 pyramides à faces régulières Py3(= le tétraèdre), Py4 (J1et S1) et Py5 (J2 et S2), qui sont IFR.

4) 3 "coupoles" C6 (J3 et S3), C8 (J4 et S4) et C10 (J5 et S5), qui sont IFR :
 
Composition
"atomique"
Vue patron Nom particularité Jk F A S
C6
coupole hexagonale IFR J3 15 9
C8
coupole octogonale IFR J4 10 20 12
C10
coupole décagonale IFR J5 12 25 15

4) 1 "rotonde" R10 (J6 et S6) , qui est IFR:
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
R10
rotonde décagonale IFR J6 17  35 20

5) 55 polyèdres composés des précédents, dont 5 sont semi-réguliers :
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
1. Py3P3 pyramide triangulaire allongée   J7 7 12 7
2. Py4P4
pyramide carrée allongée   J8 9 16 9
3. Py5P5 pyramide pentagonale allongée   J9 11 20 11
Py3A3 pyramide triangulaire gyro-allongée
c'est un rhomboèdre.
raté ! deux triangles se raccordent en un losange,
les faces ne sont plus régulières !
       
4. Py4A4 pyramide carrée gyro-allongée   J10 13 20 9
5. Py5A5 pyramide pentagonale gyro-allongée
ou icosaèdre diminué
IFR J11 16 25 11
6. Py32 bipyramide triangulaire deltaèdre J12 6 9 5
Py4= A3 bipyramide carrée
ou octaèdre
régulier   8 12 6
7. Py52 bipyramide pentagonale deltaèdre J13 10 15 7
8. Py3P3Py3 bipyramide triangulaire allongée
Voir ce site.
  J14 9 15 8
9. Py4P4Py4 bipyramide carrée allongée   J15 12 20 10
10. Py5P5Py5 bipyramide pentagonale allongée   J16 15 25 12
11. Py3A3Py3 bipyramide carrée gyro-allongée ou hexadécadeltaèdre deltaèdre J17 16 24 10
12. Py5A5Py5
ou S7Py53
bipyramide pentagonale gyro-allongée 
ou icosaèdre
régulier   20  30 12
13. C6P6 coupole hexagonale allongée   J18 14 27 15
14. C8P8 coupole octogonale allongée   J19 9 16 9
15. C10P10 coupole décagonale allongée   J20 22 45 25
16. R10P10 rotonde décagonale allongée   J21 27 55 30
17. C6A6 coupole hexagonale gyro-allongée   J22 20 33 15
18. C8A8 coupole octogonale gyro-allongée   J23 26 44 20
19. C10A10 coupole décagonale gyro-allongée   J24 32 55 25
20. R10A10 rotonde décagonale gyro-allongée   J25 37 65 30
21. C62 bicoupole hexagonale
ou gyro-cuboctaèdre
  J27 14 24 12
22. C82 bicoupole octogonale IFR J28 18 32 16
23. C102 bicoupole décagonale   J30 22 40 20
24. R102 birotonde décagonale
ou gyro-icosidodécaèdre
  J34 32 60 30
25. C10R10 coupole-rotonde décagonale   J32 27 50 25
26. C6C6 gyrobicoupole hexagonale
ou cuboctaèdre
semi-régulier   8 14 6
27. C8C8 gyrobicoupole octogonale   J29 18 32 16
28. C10C10 gyrobicoupole décagonale   J31 22  40 20
29. R102 gyrobirotonde décagonale
ou icosidodécaèdre
semi-régulier   32 60 30
30. C10R10 gyrocoupole-rotonde décagonale   J33 27 50 25
31. C6P6C6 bicoupole hexagonale allongée   J35 20 36 18
32. C8P8C8 bicoupole octogonale allongée ou
rhombicuboctaèdre
semi-régulier   26 48 24
33. C10P10C10 bicoupole décagonale allongée   J38 32 60 30
34. R10P10R10 birotonde décagonale allongée   J42 42 80 40
35. C10P10R10 coupole-rotonde décagonale allongée   J40 37 70 35
36. C6P6C6 gyrobicoupole hexagonale allongée   J36 20 36 18
37. C8P8C8 gyrobicoupole octogonale allongée
ou gyro-rhombicuboctaèdre
IFR J37 25 48 24
38. C10P10C10 gyrobicoupole décagonale allongée   J39 32 60 30
39. R10P10R10 gyrobirotonde décagonale allongée   J43 42 80 40
40. C6P6C6 gyrocoupole-rotonde décagonale allongée   J41 37 70 35
41. C6A6C6

bicoupole hexagonale gyro-allongée 2 versions chirales J44 26 42 18
42. C8A8C8

bicoupole octogonale gyro-allongée 2 versions chirales J45 34 56 24
43. C10A10C10

bicoupole décagonale gyro-allongée 2 versions chirales J46 42 70 30
44. R10A10R10

birotonde décagonale gyro-allongée 2 versions chirales J48 52 90 40
45. C10A10R10

coupole-rotonde decagonale gyro-allongée 2 versions chirales J47 47 80 35
46. P32 gyrobifastigium
ou gyro-biprisme triangulaire
ou octaèdre biprismatique
polyèdre pavant l'espace J26 8 14 6
47. P3Py4 prisme triangulaire augmenté   J49 8 13 7
48. P3Py42 prisme triangulaire biaugmenté   J50 11 17 8
49. P3Py43 prisme triangulaire triaugmenté
ou tétradécadeltaèdre
deltaèdre J51 14 21 9
50. P5Py4 prisme pentagonal augmenté   J52 10 19 11
51. P5Py42 prisme pentagonal biaugmenté   J53 11 17 8
52. P6Py4 prisme hexagonal augmenté   J54 11 22 13
53. Py4P6Py4 prisme hexagonal parabiaugmenté   J55 14 26 14
54. P6Py42 prisme hexagonal métabiaugmenté   J56 14 26 14
55. P6Py43 prisme hexagonal triaugmenté   J57 17 30 15

6) 5 polyèdres apparentés au dodécaèdre :
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
D5
dodécaèdre régulier   12 30 10
D5Py5
dodécaèdre augmenté   J58 16 35 21
Py5D5Py5
dodécaèdre parabiaugmenté   J59 20 40 22
D5Py52
dodécaèdre métabiaugmenté   J60 20 40 22
D5Py53
dodécaèdre triaugmenté   J61 24 45 23

7) 3 polyèdres apparentés à l'icosaèdre :
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
S7Py5
icosaèdre métabidiminué IFR J62 12 20 10
S7
icosaèdre tridiminué IFR J63 8 15 9
S7Py3
icosaèdre tridiminué augmenté   J64 10 18 10


8) 2 polyèdres apparentés au tétraèdre tronqué
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
Tt
tétraèdre tronqué semi-régulier   8 18 12
TtC6
tétraèdre tronqué augmenté   J65 14 27 14


9) 3 polyèdres apparentés au cube tronqué
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
Ct
 cube tronqué semi-régulier   14 36 24
CtC8
cube tronqué augmenté   J66 22 48 28
C8CtC8
cube tronqué biaugmenté    J67 30 60 32


10) 5 polyèdres apparentés au dodécaèdre tronqué :
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
Dt dodécaèdre tronqué semi-régulier   32 90 60
DtC10 dodécaèdre tronqué augmenté   J68 42 105 65
C10DtC10 dodécaèdre tronqué parabiaugmenté    J69 52 120 70
DtC102 dodécaèdre tronqué métabiaugmenté   J70 52 120 70
DtC103 dodécaèdre tronqué triaugmenté   J71 62 135 75


11) 13 polyèdres apparentés au rhombicosidodécaèdre :
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
S8C102
ou S9C103
rhombicosidodécaèdre semi-régulier   62 120 60
C10S8C10 gyro-rhombicosidodécaèdre
ou rhombicosidodécaèdre circiné
(ou remplacer "circiné" par "pivoté")
une décacoupole a été pivotée d'un dixième de tour
IFR J72 62 120 60
C10S8C10 parabigyro-rhombicosidodécaèdre
rhombicosidodécaèdre parabicirciné
deux décacoupoles opposées pivotées (en haut et en bas sur la figure)
IFR J73 62 120 60
C102S9C10 métabigyro-rhombicosidodécaèdre
ou rhombicosidodécaèdre métabicirciné
deux décacoupoles adjacentes pivotées (à gauche et à droite sur la figure)
IFR J74 62 120 60
C103S9 trigyro-rhombicosidodécaèdre
ou rhombicosidodécaèdre tricirciné
trois décacoupoles  pivotées
IFR J75 62 120 60
C10S8 rhombicosidodécaèdre diminué IFR J76 52 105 55
S8C10 paragyro-rhombicosidodécaèdre diminué (anticonstitutionnellement est battu...) 
ou rhombicosidodécaèdre diminué paracirciné
une décacoupole supprimée, la décacoupole opposée pivotée
IFR J77 52 105 55
C10S9C10 métagyro-rhombicosidodécaèdre
ou rhombicosidodécaèdre métacirciné
une décacoupole supprimée, la décacoupole adjacente pivotée
IFR J78 52 105 55
C102S9 bigyro-rhombicosidodécaèdre diminué
ou rhombicosidodécaèdre diminué bicirciné
une décacoupole supprimée, deux décacoupoles pivotées
IFR J79 52 105 55
S8 rhombicosidodécaèdre parabidiminué
deux décacoupoles opposées supprimées
IFR J80 42 90 50
S9C10 rhombicosidodécaèdre métabidiminué
deux décacoupoles adjacentes supprimées
IFR J81 42 90 50
C10S9 gyro-rhombicosidodécaèdre bidiminué
ou rhombicosidodécaèdre bidiminué circiné
IFR J82 42 90 50
S9 rhombicosidodécaèdre tridiminué IFR J83 32 75 45

12)  6 polyèdres semi-réguliers "secs".
 
vue patron Nom particularité F A S
octaèdre tronqué semi-régulier 14 36 24
icosaèdre tronqué semi-régulier 32 90 60
cuboctaèdre tronqué semi-régulier 26 72 48
icosidodécaèdre tronqué semi-régulier 62 180 120
cube adouci semi-régulier 38 60 24
dodécaèdre adouci semi-régulier 92 150 60

13)   9 polyèdres exotiques non apparentés aux précédents
 
Composition
"atomique"
vue patron Nom particularité Jk F A S
S10
disphénoïde adouci
ou dodécadeltaèdre
deux pyramides pentagonales flexées symétriques plus une "bouche" formée de deux triangles.
deltaèdre J84 12 18 8
S11
antiprisme carré adouci
ou icosihexaèdre "antiprisme ventru"

On remplace dans l'antiprisme carré (figure du bas) chaque arête joignant les deux carrés par deux triangles.

  J85 26 40 16
S12 sphéno-couronne
ou décatétraèdre "panier"
deux pyramides pentagonales flexées symétriques plus une "bouche" formée de deux triangles et deux carrés.
  J86 14 22 10
S12Py4 sphéno-couronne augmentée
ou décatétraèdre "panier" augmenté
  J87 17 26 11
S13 sphéno-mégacouronne
ou décaoctaèdre "barque"
  J88 18 28 12
S14 hébésphéno-mégacouronne
ou icosiénaèdre de Johnson
  J89 21 33 14
S17 disphénocingulum (cingulum = ceinture)
ou icositétraèdre à deux tranchants
  J90 24 38 16
S15 bilune-birotonde
ou décatétraèdre à deux tranchants
  J91 14  26 14
S16 hébésphéno-rotonde triangulaire
ou icosaèdre de degré 4
  J92 20 36 18

Notons qu'il existe une infinité de polyèdres à faces régulières, même simples, mais non supposés convexes. On peut par exemple juxtaposer un nombre quelconque de pyramides à faces équilatérales.

 
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© Robert FERRÉOL 2007